Theorem. open disc에서 holomorphic한 function은 그 disc 안에서 primitive를 가진다.proof. 일반성을 잃지 않고 disc는 원점을 중심으로 한다고 하자.주어진 \(z \in D\)에 대해 \(0\)과 \(z\)를 연결하는 piecewise curve를 고려한다. 그 curve는 0부터 \(Re(z)\), \(Re(z)\)부터 \(z\)가 이어진 형태이다. 이 polygonal line 을 \(\gamma_z \)라고 놓자.\[ F(z) = \int _{\gamma_z } f(w)dw \]로 \(F\)를 정의했을 때 \(D\)에서 \(F\)는 holomorphic이고 \(F'=f\)을 보이면 충분하다.\( z+h \in D\)가 되도록 하는 충분히 작은 \(h ..

Theorem. \(f\)가 entire, bounded 이면 \(f\)는 constant이다.Remark.entire : \(\mathbb{C}\) 전체에서 holomorphic함 bounded : disc으로 덮을 수 있다, 즉 모든 \(z\)에 대해 \(|f(z)|0 , \; z_0 \in \mathbb{C}\)에 대해 Cauchy inequalities를 적용하면\[ |f'(z_0 ) | < \frac {B}{R} \](\(B\)는 \(f\)의 bound), \(R \rightarrow \infty \)를 취하면 원하던 결과가 쉽게 도출된다.이 theorem으로 간단하게 대수학의 기본 정리를 증명할 수 있다. Corollary. 모든 복소수 계수의 non-constant 다항식 \(P(z) = a..

\(f\)는 open set \(\Omega\)에서 holomorphic하다. \(D\)는 \(z_0\)를 중심으로 하는 closure가 \(\Omega\) 내에 있는 disc일 때, \(f\)는 \(z_0\)에서 power series expansion을 가지고 모든 \(z \in D\)에 대해 계수는 다음과 같다.\[ f(z) = \sum _{n=0} ^\infty a_n (z - z_0 )^n , \quad a_n = \frac {f^{(n)}(z_0)}{n!} \; \forall n\ge 0 \]증명. \(z \in D\)를 고정하자. Cauchy integral formula에 의해\[ f(z) = \frac {1}{2 \pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta -z} ..

\(f\)가 중심이 \(z_0\)이고 반지름이 \(R\)인 open disc \(D\)를 포함하는 open set에서 holomorphic할 때, 다음이 성립한다. \(C\)는 \(D\)의 boundary circle이다.\[ |f^{(n)} (z_0 ) | \le \frac {n! ||f||_C }{R^n }, \quad ||f||_C := \sup _{z \in C} |f(z)| \]증명.Cauchy's integral formula를 사용하면\[ |f^{(n)} (z_0) | = \frac {n!}{2 \pi} \left| \frac {1}{i} \int _C \frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_0)^{n+1}} d \zeta \right| = \frac {n!}{2 \pi } \le..

disc \(D\)의 closure을 포함하는 open set \(\Omega \in \mathbb{C}\)에 대해 함수 \(f\)는 holomorphic하다. \(C\)는 양의 orientation을 가지는 \(D\)의 boundary circle을 뜻할 때, 모든 점 \(z \in D\)에 대하여 다음이 성립한다.\[ f(z) = \frac {1}{2 \pi i} \int _C \frac {f(\zeta)}{\zeta - z } d\zeta \] Reference : Princeton Lectures in Analysis\(z\)를 고정시켰을 때 위 그림과 같은 keyhole \(\Gamma _{\delta, \epsilon }\)을 고려한다. \(\delta\)는 구멍에 연결된 통로의 폭, \(\e..

\(\gamma\)는 open set \(\Omega \subset \mathbb{C}\) 내의 closed curve이다. \(f\)가 \(\Omega\)에서 continuous이고 primitive를 가질 때 다음이 성립한다.\[ \int _\gamma f(z) dz = 0 \] 증명.조금 더 확장시켜서 closed curve은 시작되는 값과 끝나는 값이 같기 때문에 다음을 보이면 충분하다.\(\Omega\)에서 continuous이고 primitive \(F\)를 가지는 함수 \(f\)와 \(\Omega\) 내의 \(w_1\)에서 시작해서 \(w_2\)로 끝나는 curve \(\gamma\)에 대해 다음이 성립한다.\[ \int _\gamma f(z)dz = F(w_2) - F(w_1) \]\(\g..

복소수 수열 \(\{ x_n \}\)이 \(w \in \mathbb{C} \)에 수렴한다는 것은 다음과 같다는 것을 의미한다.\[ \lim _{n \rightarrow \infty} |z_n - w| = 0\]그리고 \(w = \lim _{n \rightarrow \infty} z_n \)이라고 쓴다.실수에서 수렴의 정의와 다른 것은 없지만 복소수의 절댓값의 정의를 생각하면 복소평면 위의 점 \(w\)에 점점 가깝게 다가가는 것으로 생각할 수 있다.수열의 극한으로 수렴성을 파악하기 어려울 때는 동치인 코시 수열인 지를 알아보는 것도 도움이 된다. 수열 \(\{z_n\}\)은 이 코시 수열이라는 것은 다음과 같다는 것을 의미한다.\[ |z_n - z_m| \rightarrow 0 \quad \text{as..

정리해서 글을 쓰는 것은 나중에.. 흐름이 눈에 잘 안들어온다.