Liouville's Theorem

Theorem. $f$가 entire, bounded 이면 $f$는 constant이다.

---

Remark.

entire : $\mathbb{C}$ 전체에서 holomorphic함

bounded : disc으로 덮을 수 있다, 즉 모든 $z$에 대해 $|f(z)|<M$인 $M \in \mathbb{R}$이 존재한다.

region : connected open set in $\mathbb{C}$

---

Lemma. $f$가 region $\Omega$에서 holomorphic하고 $f' =0$이면 $f$는 constant이다.

proof.

$w_0 \in \Omega$를 고정시킨다. 모든 $w \in \Omega$에 대하여 $f(w) = f(w_0 )$임을 보이면 된다.

$\Omega$는 connected이므로 모든 $w \in \Omega$에 대해 $w_0$로 시작하여 $w$로 끝나는 curve $\gamma$ 가 존재한다.

$$\int _\gamma f'(z) dz = f(w) - f(w_0 )$$

$f' =0$이므로 좌변은 0이 되고, lemma는 증명되었다.

---

Proof.

lemma에 의해 $f' =0$을 보이면 충분하다.

모든 $R>0 , \; z_0 \in \mathbb{C}$에 대해 Cauchy inequalities를 적용하면

$$|f'(z_0 ) | < \frac {B}{R}$$

($B$는 $f$의 bound), $R \rightarrow \infty$를 취하면 원하던 결과가 쉽게 도출된다.

---

이 theorem으로 간단하게 대수학의 기본 정리를 증명할 수 있다.

Corollary. 모든 복소수 계수의 non-constant 다항식 $P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0$는 $\mathbb{C}$ 안에 근을 가진다.

proof.

Liouville's theorem에 의해 만약 $P$가 근이 없다면, $1/P(z)$가 bounded holomorphic function이라는 것을 보이면 된다. $1/P(z)$가 entire, bounded가 되면 constant가 되고, 조건에 모순이 생기기 때문이다.

이 claim을 증명할 때 $a_n \not= 0$으로 놓고 다음 식을 생각해보자

$$\frac {P(z)}{z^n} = a_n + \left( \frac {a_{n-1}}{z} + \frac {a_{n-2}}{z^2} + \cdots + \frac {a_0}{z^n} \right)$$

$|z| \rightarrow \infty$일 때 $\frac {P(z)}{z^n} \rightarrow a_n$이 되므로 $|z|>R$일 때 $|P(z)| \ge \frac {a_n}{2} |z|^n$이 성립하는 $R$이 존재한다.

따라서 $|P|$는 $|z|>R$일 때 0보다 큰 하한이 존재한다. $|z| \le R$일 때는 근이 존재하지 않고 continuous하므로 또한 하한이 존재한다. 모든 경우에 대해 $|P|$는 0보다 큰 하한이 존재하므로 $1/P(z)$는 bounded holomorphic function이다. 따라서 claim은 증명되었고, 명제는 참이다.

이 Corollary를 귀납적으로 접근해서 n차의 복소수로 표현된 다항식은 n개의 근을 가진다는 일반적으로 알려진 사실을 증명할 수 있다. 또, 만약 이 근들을 $w_1, w_2, \cdots , w_n$으로 놓았을 때 다항식은 다음과 같이 표현된다.

$$P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0 = a_n (z-w_1 )(z-w_2)\cdots(z-w_n)$$

방금 증명한 것에 의해 $P(z)$의 근 $w_1$이 존재한다. $z = (z-w_1 )+w_1$으로 표현하여 $P$에 대입했을 때 다음과 같은 결과가 나온다.

$$P(z) = b_n (z-w_1 )^n + b_{n-1} (z-w_1)^{n-1} + \cdots + b_0$$

$P(w_1)=0$이므로 $b_0 = 0$이다.

$$P(z) = (z-w_1) [b_n (z-w_1)^{n-1} + b_{n-1} (z-w_1)^{n-2} + \cdots + b_1 = (z-w_1) Q(z) ]$$

$Q$는 $n-1$차식이다. 여기서도 똑같이 적용하여 귀납법에 의해 $n$개의 근을 가지는 것이 확인되고

$$P(z) = c(z-w_1)(z-w_2) \cdots (z-w_n)$$

으로 표현된다. 그리고 우변을 전개했을 때 $c=a_n$임을 쉽게 볼 수 있다.