Theorem. (해의 존재성) \[ y'(t) = f(t,y(t)), \quad y(0) = y_0\]만약 \(f, \frac {\partial f}{\partial y }\)가 연속이면 미분방정식 \(y' = f(t,y) \)는 어떤 적당한 영역에서 유일한 해를 가진다. 여기서 해가 유일하다는 것은 linearly dependent한 해는 모두 하나로 보았을 때가 아니라 진짜 함수의 유일성을 뜻해요. 계수까지 다 결정된다는 것입니다. 존재정리는 위와 같고, 풀 때는 양변을 적분하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.\[ y(t) - y_0 = \int _0 ^t f(s,y(s)) \,d s \]이런 미분방정식을 풀 때 Picard's method라고, 함수를 수열 \(\{y_n \}\)으로 고려합니다...
복소수 수열 \(\{ x_n \}\)이 \(w \in \mathbb{C} \)에 수렴한다는 것은 다음과 같다는 것을 의미한다.\[ \lim _{n \rightarrow \infty} |z_n - w| = 0\]그리고 \(w = \lim _{n \rightarrow \infty} z_n \)이라고 쓴다.실수에서 수렴의 정의와 다른 것은 없지만 복소수의 절댓값의 정의를 생각하면 복소평면 위의 점 \(w\)에 점점 가깝게 다가가는 것으로 생각할 수 있다.수열의 극한으로 수렴성을 파악하기 어려울 때는 동치인 코시 수열인 지를 알아보는 것도 도움이 된다. 수열 \(\{z_n\}\)은 이 코시 수열이라는 것은 다음과 같다는 것을 의미한다.\[ |z_n - z_m| \rightarrow 0 \quad \text{as..