Theorem. (해의 존재성) \[ y'(t) = f(t,y(t)), \quad y(0) = y_0\]만약 \(f, \frac {\partial f}{\partial y }\)가 연속이면 미분방정식 \(y' = f(t,y) \)는 어떤 적당한 영역에서 유일한 해를 가진다. 여기서 해가 유일하다는 것은 linearly dependent한 해는 모두 하나로 보았을 때가 아니라 진짜 함수의 유일성을 뜻해요. 계수까지 다 결정된다는 것입니다. 존재정리는 위와 같고, 풀 때는 양변을 적분하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.\[ y(t) - y_0 = \int _0 ^t f(s,y(s)) \,d s \]이런 미분방정식을 풀 때 Picard's method라고, 함수를 수열 \(\{y_n \}\)으로 고려합니다...

Mean Value Theorem극한을 직접 계산하지 않고도 구간 안에 어떤 미분값이 존재함을 알려주는 멋진 정리이다. f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능할 때\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ that} \quad f'(c) = \frac {f(a)-f(b)}{a-b} \] 이 정리에서 f(a)=f(b)일 때가 롤의 정리이고, 반대로 롤의 정리에서 이 정리가 쉽게 유도된다.\[ g(x) = f(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)\]를 생각해보면 g(a)=g(b), g는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능하므로 롤의 정리를 적용하여\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ ..

first derivative testf는 c 근처에서 연속이고 미분 가능할 때 그런 구간 (a,b)를 잡아서 \( f'(c)=0, \; f'(x)>0 \; if \; a0 이면 f는 c에서 극솟값을 가진다.f'(c)=0, f''(c)0, x>c일 때 f'(x)0\)이므로 \(f'(c)>f'(x)\)이다.\(\forall x \in (c,b)\)에 대해 f'은 [c,x]에서 연속이고 (c,x)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해 \(f''(d_2) = \frac {f'(c)- f'(x)} {c-x} \)인 \(d_2\)가 (c,x) 안에 존재한다. \(f''(d_2)>0\)이므로 \(f'(c)