\[ \sum _{n=-\infty} ^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = \sum _{n=-\infty} ^\infty (-1)^n q^{n(3n+1)/2} = (q;q)_\infty \]첫번째 식에 \(n\) 대신 \(-n\)을 넣었을 때 두번째 식이 되고, 결과적으로 의미가 있는 것은 세번째 식이라고 할 수 있겠다.Ramanujan's notation 중 하나를 생각한다. 이 글에서 음의 무한부터 양의 무한까지의 급수는 간단하게 \(\sum\)으로 나타낸다.left hand side ::\[ f(-q) = f(-q;-q^2 ) = \sum (-q)^{n(n+1)/2} (-q^2 )^{n(n-1)/2 } = \sum (-1)^n q^{n(3n-1)/2} \] right hand si..

\(|q|

q-binomial Theorem :: \(|q| , |z|

q-series 1. 정의2. 예3. 팩토리얼 1. 정의\[ (a)_0 := (a;q)_0 := 1 , \quad (a)_n := (a,q)_n := \prod _{k=0} ^{n-1} (1-aq^k ), \qquad n \ge 1 \]\[ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (a)_\infty := (a;q)_\infty := \prod _{k=0} ^{\infty} (1-aq^k ), \qquad |q|0 \)에 대해 \(q^a \)를 넣고, \(q\)가 1로 갈 때 로피탈의 정리를 쓰자.\[ \lim _{q \rightarrow 1 } \frac {(q^a)_n}{(1-q)^n}= \lim _{q \rightarrow 1 } \frac{1-q^a}{1-q} \frac{1-..

Euler Integer Partition Theorem(Euler). 임의의 자연수 n을 서로 다른 양의 정수로 나누는 방법의 수는 홀수로 나누는 방법의 수와 같다.\[5=1+4=2+3=5 \\ 5=1+1+1+1+1=3+1+1=5\]위는 5를 정수 분할한 것로 각각 똑같이 3개이다. proof. q-series를 정리해서 간단하게 나타낼 수 있다.\(p_d(n)\)을 n을 서로 다른 양의 정수로 나누는 방법의 수라고 정의하면 임의의 절댓값이 1보다 작은 q에 대해 계수비교를 하면 다음이 성립한다.\[\sum _{n=0} ^{\infty} p_d(n) q^n = (1+q)(1+q^2 )(1+q^3 ) \cdots (1+q^k ) \cdots = (-q ; q)_{\infty} \] 마찬가지의 원리로 \(..