disc와 primitive

Theorem. open disc에서 holomorphic한 function은 그 disc 안에서 primitive를 가진다.

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proof. 

일반성을 잃지 않고 disc는 원점을 중심으로 한다고 하자.

주어진 $z \in D$에 대해 $0$과 $z$를 연결하는 piecewise curve를 고려한다. 그 curve는 0부터 $Re(z)$, $Re(z)$부터 $z$가 이어진 형태이다. 이 polygonal line 을 $\gamma_z$라고 놓자.

$$F(z) = \int _{\gamma_z } f(w)dw$$

로 $F$를 정의했을 때 $D$에서 $F$는 holomorphic이고 $F'=f$을 보이면 충분하다.

$z+h \in D$가 되도록 하는 충분히 작은 $h \in \mathbb{C}$에 대해

$$F(z+h) - F(z) = \int _{\gamma_{z+h}} f(w)dw - \int _{\gamma_{z}} f(w) dw$$

Reference : Princeton Lectures in Analysis

위와 같은 과정에 의해 두 가지의 닫힌 도형을 적분하면서 최종적으로 $z$와 $z+h$를 잇는 line 위에서 적분을 하는 것이 남는다(Goursat's thm). 이 line을 $\eta$로 놓으면

$$F(z+h) - F(z) = \int _\eta f(w) dw$$

$f$는 $z$에서 continuous하므로

$$f(w) = f(z) + \psi (w)$$

이렇게 써줄 수 있다. 여기서 $w \rightarrow z$일 때 $\psi(w) \rightarrow 0$이 만족된다.

$$\int _\eta f(w) dw = f(z) \int _\eta dw + \int _\eta \psi (w) dw$$

$$\left| \int _\eta \psi(w)dw \right| = \sup _{w \in \eta } |\psi(w) | |h|$$

$h$가 $0$으로 갈 때 최소상계도 0으로 가므로 결론적으로,

$$F'(z) = f(z)$$