Theorem. Compact subsets of metric spaces are closed. proof.metric space \(X\)의 compact subset \(K\)를 잡아요.closed를 직접 보이기는 어려우므로 \(K^c\)가 open임을 보이면 되요.어떤 \(p \in K^c , q \in K\)에 대해 radius가 \(\frac {1}{2} d(p,q)\)가 되도록 하는 각 점의 neighborhood를 \(V ,W\)라 해요.K가 compact set이므로 \(K \in \bigcup _{\alpha = 1} ^{n} W_{q_{\alpha}} = W \)가 되도록 하는 유한한 점들 \(q_1 , q_2 , \cdots , q_n \in K \)를 잡을 수 있습니다.let \[ ..

Theorem. set \(E\)가 open인 것과 \(E\)의 complement가 closed인 것과 동치이다. proof. \(E\)가 open이라면 \(x\)를 \(E^c \)의 limit point로 잡아요. limit point의 정의에 의해, \(x\)의 neighborhood는 \(E^c\)의 \(x\)가 아닌 적어도 한 점을 포함하게 됩니다. \(E\)가 open이므로, \(E\)의 모든 점이 \(E\)의 interior point이어야 하므로, \(x \notin E\) 즉, \(x \in E^c\)이에요. 이것은 정의에 의해 \(E^c\)가 closed set임을 말합니다. \(E^c\)가 closed라면 \(x \in E\)인 \(x\)를 하나 잡아요. 그러면 \(x \notin E..