Theorem. Compact subsets of metric spaces are closed. proof.metric space $X$의 compact subset $K$를 잡아요.closed를 직접 보이기는 어려우므로 $K^c$가 open임을 보이면 되요.어떤 $p \in K^c , q \in K$에 대해 radius가 $\frac {1}{2} d(p,q)$가 되도록 하는 각 점의 neighborhood를 $V ,W$라 해요.K가 compact set이므로 $K \in \bigcup _{\alpha = 1} ^{n} W_{q_{\alpha}} = W$가 되도록 하는 유한한 점들 $q_1 , q_2 , \cdots , q_n \in K$를 잡을 수 있습니다.let \[ ..

Theorem. set $E$가 open인 것과 $E$의 complement가 closed인 것과 동치이다. proof. $E$가 open이라면 $x$를 $E^c$의 limit point로 잡아요. limit point의 정의에 의해, $x$의 neighborhood는 $E^c$의 $x$가 아닌 적어도 한 점을 포함하게 됩니다. $E$가 open이므로, $E$의 모든 점이 $E$의 interior point이어야 하므로, $x \notin E$ 즉, $x \in E^c$이에요. 이것은 정의에 의해 $E^c$가 closed set임을 말합니다. $E^c$가 closed라면 $x \in E$인 $x$를 하나 잡아요. 그러면 \(x \notin E..