\(D \subseteq \mathbb{R}^2 \)가 simple region이고 \(C=\partial D \)일 때, 미분 가능하고 미분했을 때 연속인 함수 \(P:D \rightarrow \mathbb{R}\)와 \(Q:D \rightarrow \mathbb{R} \)에 대해\[ \int _{C^+} P dx + Q dy = \iint _D \left( \frac { \partial Q } {\partial x} - \frac { \partial P} {\partial y} \right) dx dy \]가 성립한다. 이 때 \(C^+\)는 반시계방향의 \(C\)를 의미한다.2차원 평면에서 경계를 따라 적분한 결과와 영역 전체에서 적분한 결과 사이의 관계를 보여주는 식입니다.Simple Region..

Theorem. Let \(\vec{c} (t)\) as a position of the particle of mass \(m\) at time \(t\). Let \(V : \mathbb {R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\) as a potential function, having \( - \nabla V \) as a force field. Then \[\frac 1 2 m \| \vec{c}'(t) \|^2 + V( \vec{c}(t))\] is constant. proof. Let above equation as \( E(t)\), and set our aim as showing \(E'(t) = 0 \). Thereby approaching \(V(\vec{c}(t) )\) f..

곡선 \(C\)의 벡터 함수 \(\mathbb{r} (t)\), 단위 접선 벡터 함수 \(\mathbb{T}(t)\), 길이 함수 \(s(t)\)에 대해 곡률 \(\kappa\)는 다음과 같이 정의된다.\[ \kappa (t) = \Big| \frac {d\mathbb{T}}{ds} \Big| \]즉, 단위 길이 당 접선 벡터가 얼마나 변하는 지를 보는 함수이다. 곡률이 높다면 방향이 작은 구간에서 급격하게 변한다는 보편적인 정의와 상통한다.계산을 할 때는 \(\mathbb{T}\)를 \(s\)에 관해 나타내준 후 미분을 해야 하는데, 매개변수를 써서 다시 나타내면 더 쉽게 할 수 있다.\[ \kappa(t) = \Big| \frac {d\mathbb{T}}{ds} \Big| = \Big| \frac {..

Theorem. (해의 존재성) \[ y'(t) = f(t,y(t)), \quad y(0) = y_0\]만약 \(f, \frac {\partial f}{\partial y }\)가 연속이면 미분방정식 \(y' = f(t,y) \)는 어떤 적당한 영역에서 유일한 해를 가진다. 여기서 해가 유일하다는 것은 linearly dependent한 해는 모두 하나로 보았을 때가 아니라 진짜 함수의 유일성을 뜻해요. 계수까지 다 결정된다는 것입니다. 존재정리는 위와 같고, 풀 때는 양변을 적분하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.\[ y(t) - y_0 = \int _0 ^t f(s,y(s)) \,d s \]이런 미분방정식을 풀 때 Picard's method라고, 함수를 수열 \(\{y_n \}\)으로 고려합니다...

\[ \int \frac 1 {1+\sin^2 x } dx \]기본적인 아이디어는 분모와 분자에 \(\cos^2 x\)를 나누는 것입니다. 이 부분의 동기는 \[ \frac {d}{dx} \tan x = \sec^2 x \]\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \]들을 이용해서 식을 탄젠트와 시컨트로만 나타내면 얻을 수 있는 이점이 크기 때문입니다. 사인을 그대로 이용하려면 치환을 어떻게 해도 반드시\[ \frac d {dx} \sin x = \cos x \]가 들어가게 되는데, 코사인을 사인으로 표현하면 무리식이 될 수밖에 없어서 막히게 됩니다. 어쨌든 양변에 시컨트 제곱을 곱하면 얻을 수 있는 식은 다음과 같습니다. \[\int \frac {\sec^2 x } {\sec^2 x + \tan..

\[ \sum _{n \in \mathbb{Z}} \frac {1}{\tau + n } = \pi \cot ( \pi \tau ) \]물론 \(\tau\)는 정수가 아닌 실수입니다. 즉 존재성이 보장된다면 위 식이 성립합니다. \[ \sum _{n \in \mathbb{Z} } \frac {1}{\tau + n} = \frac{d}{d\tau} \int \sum _{n \in \mathbb{Z}} \frac {1}{\tau + n} d \tau = \frac {d}{d\tau} \sum _{n \in \mathbb{Z} } \int \frac {d\tau}{\tau + n} = \frac {d}{d\tau} \log \tau + \sum _{n \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} } \..

f는 g(a)에서 미분 가능하고 g는 a에서 미분 가능할 때\[ (f(g(a)))' = f'(g(a))g'(a) \] 먼저 일반적인 미분의 정의를 이용해서 접근해볼 수 있다.\[ (f(g(a)))' = \lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(g(a+h)) - f(g(a)) }{h} = \lim _{h \rightarrow 0 } \frac {g(a+h) - g(a)}{h} \frac { f(g(a+h)) -f(g(a))}{g(a+h) -g(a)} \]문제는 g(a+h)를 g(a)+h로 분리해서 볼 수 없다는 것이다. 다루기 어려운 limit을 빼고 생각하기 위해 다른 미분의 정의를 생각해보자. f가 a에서 미분가능하다면\[ \lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(a..

Extreme Value Theorem 구간 [a,b]에서 연속인 함수 f에 대해 \[ \exists c,d \in [a,b] \quad \mathrm{s.t.} \quad \forall x \in [a,b], \quad f(c) \le f(x) \le f(d) \] 먼저 f는 [a,b]에서 bounded임을 보일 것이다. 집합 \(S = \{ x | f \; \mathrm{is \ bounded \ on} \; [a,x] \} \)를 잡았을 때, \(a \in S\), \(S \in \mathbb{R}\)이고 upper bound가 있으므로 완비성 공리에 의해 \(c = \sup S \)가 존재한다. \[ \mathrm{Claim. \; c=b} \] c=a일 때를 보자. f는 a에서 연속이므로 \[ ..

Mean Value Theorem극한을 직접 계산하지 않고도 구간 안에 어떤 미분값이 존재함을 알려주는 멋진 정리이다. f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능할 때\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ that} \quad f'(c) = \frac {f(a)-f(b)}{a-b} \] 이 정리에서 f(a)=f(b)일 때가 롤의 정리이고, 반대로 롤의 정리에서 이 정리가 쉽게 유도된다.\[ g(x) = f(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)\]를 생각해보면 g(a)=g(b), g는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능하므로 롤의 정리를 적용하여\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ ..