Theorem. \(f\)가 entire, bounded 이면 \(f\)는 constant이다.Remark.entire : \(\mathbb{C}\) 전체에서 holomorphic함 bounded : disc으로 덮을 수 있다, 즉 모든 \(z\)에 대해 \(|f(z)|0 , \; z_0 \in \mathbb{C}\)에 대해 Cauchy inequalities를 적용하면\[ |f'(z_0 ) | < \frac {B}{R} \](\(B\)는 \(f\)의 bound), \(R \rightarrow \infty \)를 취하면 원하던 결과가 쉽게 도출된다.이 theorem으로 간단하게 대수학의 기본 정리를 증명할 수 있다. Corollary. 모든 복소수 계수의 non-constant 다항식 \(P(z) = a..

\(f\)가 중심이 \(z_0\)이고 반지름이 \(R\)인 open disc \(D\)를 포함하는 open set에서 holomorphic할 때, 다음이 성립한다. \(C\)는 \(D\)의 boundary circle이다.\[ |f^{(n)} (z_0 ) | \le \frac {n! ||f||_C }{R^n }, \quad ||f||_C := \sup _{z \in C} |f(z)| \]증명.Cauchy's integral formula를 사용하면\[ |f^{(n)} (z_0) | = \frac {n!}{2 \pi} \left| \frac {1}{i} \int _C \frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_0)^{n+1}} d \zeta \right| = \frac {n!}{2 \pi } \le..