산술함수 f에 대하여 f가 multiplicative하다는 것은 다음을 나타낸다.\[f(mn) = f(m) f(n), \quad \mathrm{whenever \ } (m,n)=1 \]모든 수에 대해 함수값이 0인 경우는 예외로 한다.completely multiplicative는 (m,n)=1이라는 조건을 무시해도 성립할 때를 말한다.이런 성질을 생각하면 좋은 이유는 산술의 기본정리에 의해 어떤 자연수에 대해 standard prime factorization이 유일하게 존재하는데, multiplicative를 이용하면 더 작은 단위의 곱으로 나타낼 수 있기 때문이다. 거기에 completely multiplicative면 그것보다도 더 작게 쪼개서 생각할 수 있다. theorem. f가 multipl..

Möbius function Definition. 뫼비우스 함수(Möbius function) \(\mu\)는 수론적 함수(arithmetical function)의 일종으로, 다음과 같이 정의된다.\[\mu (1)=1\]어떤 자연수 n>1에 대해 standard prime factorization이 \(n = p_1 ^{a_1} \cdots p_k ^{a_k} \)라면\[\mu (n) = (-1)^k \; \text{if} \; a_1 = a_2 = \cdots = a_k = 1 \\ \mu (n)=0 \; \text{otherwise} \] Theroem 1. \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 다음이 성립한다.\[\sum _{d|n} \mu (d) = \left[\frac{1}{n} \ri..