disc D의 closure을 포함하는 open set ΩC에 대해 함수 f는 holomorphic하다. C는 양의 orientation을 가지는 D의 boundary circle을 뜻할 때, 모든 점 zD에 대하여 다음이 성립한다.

    f(z)=12πiCf(ζ)ζzdζ



    Reference : Princeton Lectures in Analysis

    z를 고정시켰을 때 위 그림과 같은 keyhole Γδ,ϵ을 고려한다. δ는 구멍에 연결된 통로의 폭, ϵz를 중심으로 하는 작은 원의 반지름이다. F(ζ)=f(ζ)/(ζz)Γδ,ϵ에서 holomorphic하므로 toy contour에 대해 적용되는 Cauchy's theorem에 의해

    Γδ,ϵF(ζ)dζ=0

    δ를 0에 가깝게 설정하면 F의 연속성에 의해 큰 원 C와 작은 원 Cϵ을 남기고 방향이 다른 두 통로의 적분이 상쇄된다. 먼저 작은 원에서의 적분을 보면

    CϵF(ζ)dζ=Cϵf(ζ)f(z)ζz+f(z)ζzdζ

    f는 holomorphic하므로 bounded이다. ϵ0일 때 Cϵf(ζ)f(z)ζzdζ도 0으로 가므로

    ϵ0일 때

    CϵF(ζ)dζ=Cϵf(z)ζzdζ=f(z)02πiϵeiθϵeiθdθ=2πif(z)

    따라서

    Cf(ζ)ζzdζ2πif(z)=0

    f(z)=12πiCf(ζ)ζzdζ


    굳이 circle이 아니어도 이 정리는 성립한다. keyhole을 다른 도형에 뚫어도 비슷한 접근이 가능하기 때문.


    또 Corollary로 다음이 있다.

    f는 open set Ω에서 holomorphic할 때 fΩ에 무한히 많은 complex derivatives가 존재한다. CΩ가 interior도 Ω에 속하는 원일 때, 모든 점 zC에 대해

    f(n)(z)=n!2πiCf(ζ)(ζz)n+1dζ

    C도 positive orientation을 가지도록 놓자.

    n=0일 때는 위에서 증명했다.

    n1일 때 성립함을 가정한다.

    f(n1)(z)=(n1)!2πiCf(ζ)(ζz)ndζ

    작은 h에 대해

    f(n)(z)=f(n1)(z+h)f(n1)(z)h=(n1)!2πiCf(ζ)1h[1(ζzh)n1(ζz)n]dζ=(n1)!2πiCf(ζ)nh(1ζzh1ζz)1(ζz)n1=n!2πiCf(ζ)(ζz)n+1dζ

    induction에 의해 Corollary는 참이다.


    앞의 명제와 뒤의 Corollary를 합쳐서 Cauchy Integral Formula라고 부른다.

    Posted by Lamplighter