disc D의 closure을 포함하는 open set Ω∈C에 대해 함수 f는 holomorphic하다. C는 양의 orientation을 가지는 D의 boundary circle을 뜻할 때, 모든 점 z∈D에 대하여 다음이 성립한다.
f(z)=12πi∫Cf(ζ)ζ−zdζ

Reference : Princeton Lectures in Analysis
z를 고정시켰을 때 위 그림과 같은 keyhole Γδ,ϵ을 고려한다. δ는 구멍에 연결된 통로의 폭, ϵ은 z를 중심으로 하는 작은 원의 반지름이다. F(ζ)=f(ζ)/(ζ−z) 는 Γδ,ϵ에서 holomorphic하므로 toy contour에 대해 적용되는 Cauchy's theorem에 의해
∫Γδ,ϵF(ζ)dζ=0
δ를 0에 가깝게 설정하면 F의 연속성에 의해 큰 원 C와 작은 원 Cϵ을 남기고 방향이 다른 두 통로의 적분이 상쇄된다. 먼저 작은 원에서의 적분을 보면
∫CϵF(ζ)dζ=∫Cϵf(ζ)−f(z)ζ−z+f(z)ζ−zdζ
f는 holomorphic하므로 bounded이다. ϵ→0일 때 ∫Cϵf(ζ)−f(z)ζ−zdζ도 0으로 가므로
ϵ→0일 때
∫CϵF(ζ)dζ=∫Cϵf(z)ζ−zdζ=f(z)∫2π0−iϵeiθϵeiθdθ=−2πif(z)
따라서
∫Cf(ζ)ζ−zdζ−2πif(z)=0
f(z)=12πi∫Cf(ζ)ζ−zdζ
굳이 circle이 아니어도 이 정리는 성립한다. keyhole을 다른 도형에 뚫어도 비슷한 접근이 가능하기 때문.
또 Corollary로 다음이 있다.
f는 open set Ω에서 holomorphic할 때 f는 Ω에 무한히 많은 complex derivatives가 존재한다. C⊂Ω가 interior도 Ω에 속하는 원일 때, 모든 점 z∈C에 대해
f(n)(z)=n!2πi∫Cf(ζ)(ζ−z)n+1dζ
C도 positive orientation을 가지도록 놓자.
n=0일 때는 위에서 증명했다.
n−1일 때 성립함을 가정한다.
f(n−1)(z)=(n−1)!2πi∫Cf(ζ)(ζ−z)ndζ
작은 h에 대해
f(n)(z)=f(n−1)(z+h)−f(n−1)(z)h=(n−1)!2πi∫Cf(ζ)1h[1(ζ−z−h)n−1(ζ−z)n]dζ=(n−1)!2πi∫Cf(ζ)nh(1ζ−z−h−1ζ−z)1(ζ−z)n−1=n!2πi∫Cf(ζ)(ζ−z)n+1dζ
induction에 의해 Corollary는 참이다.
앞의 명제와 뒤의 Corollary를 합쳐서 Cauchy Integral Formula라고 부른다.