f가 중심이 z0이고 반지름이 R인 open disc D를 포함하는 open set에서 holomorphic할 때, 다음이 성립한다. CD의 boundary circle이다.

    |f(n)(z0)|n!||f||CRn,||f||C:=supzC|f(z)|


    증명.

    Cauchy's integral formula를 사용하면

    |f(n)(z0)|=n!2π|1iCf(ζ)(ζz0)n+1dζ|=n!2π|1i02πf(Reiθ+z0)(Reiθ)n+1iReiθdθ|=n!2π|02πf(z0+Reiθ)(Reiθ)ndθ|n!2π2πsupzC|f(z)Reiθ|=n!Rn||f||C

    Posted by Lamplighter