Fermat's theoremf가 [a,b]에서 연속이다. $c \in (a,b)$에 대해 f가 c에서 미분 가능하고 c에서 극대/극소값을 가질 때, f'(c)=0이다. f'(c)>0이라고 가정했을 때 미분의 정의에 의해\[ \forall \epsilon>0, \; \exists \delta>0 \quad s.t. \quad 0

Intermediate Value Theorem$f$가 $[a,b]$에서 연속일 때, \(f(a)

for interval I=[a,b], f is continuous on [a,b], f is differentiable on (a,b) $$\forall x_1, x_2 \in {a,b} , \; \forall \gamma \in (0,1) \quad f(\gamma x_1 + (1-\gamma )x_2) f(c) + f'(c) (x-c)$$ 가정은 내분점을 이용해서 한 볼록의 정의이고, 결론은 도함수로 선형근사를 한 함수의 대소관계를 이용한 볼록의 정의이다. \[take \; c = \gamma x_1 + (1-\gamma ) x_..

1. 미분 $$\frac {d}{dx} \sec x = \frac {d}{dx} \frac {1}{\cos x} = (-\sin x) \cdot (- \cos^2 x ) = \sec x \tan x$$ chain rule을 적용하면 바로 풀린다. 2. 부정적분조금 접근이 어려운 편이다.. $$\int \sec x dx = \int \sec x \frac { \sec x + \tan x } {\sec x + \tan x } dx = \int \frac {\sec^2 x + \sec x \tan x }{\sec x + \tan x } dx = \log |\sec x + \tan x | + C$$ 치환이 되는 형태로 바꾸어나가는 과정이 핵심이다. 결론을 알고 나서 증명을 하는 느낌이다. 더 직관적인 증명은 다..

arctangent1. 미분 $$y = \tan ^{-1} x$$ $$\tan y = x$$ $$\frac {\tan y }{dx} = 1$$ $$\frac {dy}{dx} = \cos^2 y$$ $$x^2 = \tan^2 y = \frac {1-\cos^2 y}{\cos^2 y}$$ $$\therefore \frac {d}{dx} \tan^-1 x = \cos^2 y = \frac {1}{1+x^2 }$$ chain rule을 이용해 식을 적절히 전개한다. 2. 부정적분\[ \int \tan^{-1} x dx = x \tan ^{-1} x - \int x \frac {1}{1+x^2} dx = x \tan ^{-1} x - \frac {1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} 2x d..