Problem. How to solve $a x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R}$ ? solution. 실계수 삼차방정식을 풀 수 있다는 가정 하에 실계수 사차방정식을 풀 수 있습니다. $$x^4 + \frac b a x^3 + \frac c a x^2 + \frac d a x + \frac e a =0$$ $$\Big(x + \frac {b}{4a} \Big)^4 = x^4 + \frac {b}{a} x^3 + \text{some 2nd degree polynomial}$$ 따라서 $y = x+ \frac b {4a}$라는 치환을 이용한다면 일반적인 사차방정식 문제를 삼차항이 소거된 형태로 바꿀 수 있습니다.\[ y^4..

Problem. How to solve $a x^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R}$ ? solution. $$x^3 + \frac b a x^2 + \frac c a x + \frac d a = 0$$ 양변을 $a$로 나누면 삼차항의 계수를 1로 고정할 수 있기 때문에 위 식만 고려해도 충분합니다. 가장 까다로워보이는 삼차항은 없앨 수 없기에 다음에 노려볼 수 있는 것은 이차항의 제거입니다. $$\Big(x+ \frac b {3a} \Big) ^3 = x^3 + \frac b a x^2 + \frac {b^2} {3a^2} x + \frac {b^3}{27a^3 }$$ 위 결과를 이용하면 이차항이 사라진 다음과 같은 식을 얻습니다.\[ \..

hyperbolic function 1. 개요2. 정의3. 항등식 1. 개요삼각함수들은 $x^2 + y^2 = 1$을 만족하도록 적당히 $x,y$에 대응된 의미 있는 특별한 함수들이라고도 할 수 있다. 그래서 삼각함수를 원함수라고 부르기도 한다. $$x^2 - y^2 = 1$$ 이 식을 만족하는 함수도 생각해볼 수 있는데, 이걸 쌍곡선함수라고 부른다. 2. 정의\[ \begin{array}{lll} \sinh x = \frac {e^x - e^{-x}}{2} & \text{csch} \; x = \frac {1}{\sinh x} \\ \cosh x = \frac {e^x +e^{-x}}{2} & \text{sech} \; x = \frac {1}{\cosh x} \\ \tanh x = \frac {..

General Linear Recurrence Relations 수열 $\left \{ a_n \right \}$에 대해 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$과 같은 형태를 일반화시킨 점화식이다. $$c_0 a_n +c_1 a_{n+1} + \cdots + c_k a_{n+k} = f(n) \quad (c_i \text{ is constant})$$ 1. Linear Homogeneous Recurrence Relation$f(n)=0$일 경우 $$c_0 a_n +c_1 a_{n+1} + \cdots + c_k a_{n+k} = 0$$ 이런 형태를 homogeneous하다고 하며, characteristic equation을 다음과 같이 정의한다.\[ c_k x^k + c_{..

1,2,...,n 으로 수들이 나열되었을 때 각 자리에 지금 나열된 수가 오지 않도록 재배열하는 방법의 수($D_n$) 1. 점화식n을 선택해서 같은 수가 오지 않도록 재배열하는 상황을 생각한다.다른 수 하나랑 뒤집히는 형태가 있고, 이 때 경우의 수는 $(n-1)D_{n-2}$다른 수 하나를 가져오되, 원래 자신의 수 n은 또 다른 한 자리에 부여할 경우 $(n-1)D_{n-1}$ $$D_n = (n-1)(D_{n-2} + D_{n-1} )$$ 2. 일반식$A_i ^C$를 i번째 자리에 i가 오지 않도록, 즉 약한 조건이 걸려서 재배열하는 경우의 수로 놓는다.\[D_n = | A_1 ^C \cup A_2 ^C \cup \cdots \cup A_{n-1} ^C \cup A_n ^C..

Cycloid and Parametric Equations $$x^2 + y^2 = 1$$ 반지름이 1인 원의 방정식을 나타낼 때 $x = \cos \theta , y = \sin \theta$로 놓기도 한다.이렇게 그래프가 주어졌을 때 점의 각 좌표를 나타내는 함수식으로 그래프를 표현하는 것이 더 쉽다. 이 글에서는 사이클로이드 방정식을 매개변수로 유도할 것이다. 1. 정의The curve traced out by a point on the circumference of a circle as the circle rolls along a straight line한 직선을 원이 굴러가면서 원 위의 일정한 점이 남긴 자취 2. 방정식사이클로이드와 같은 모양은 원을 이용해서 길이만 잘 나타내주면 매개변수..

1. 정의평면 위의 모든 이차곡선은 다음과 같은 식을 가집니다. $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$ 2. 동기일반적으로 이차곡선을 좌표평면에 나타낼 때 표준형은 xy항이 없을 때만 찾을 수 있으므로 이 식이 어떤 종류의 이차곡선을 가지는 지 알기 위해서 xy항을 없애야 합니다. 이 때 사용되는 방법이 회전변환인데, 이유는 평면 위에서 크게 생각할 수 있는 두 가지 변환인 회전변환과 평행이동 중에서 회전변환만 xy항에 관여할 수 있기 때문입니다. 평면에서의 반시계방향으로 $\theta$만큼 돌리는 회전변환을 행렬을 이용해 나타내면 다음과 같습니다.\[ \pmatrix {X \\ Y} = \pmatrix { \cos \theta & -\sin \theta \\ \si..

hyperbolas 1. 정의두 초점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합 2. 명칭branches : 두 곡선꼭짓점(vertices) : branches와 초점을 이은 직선으로 사이의 두 교점tranversive axis : 두 꼭짓점을 이은 선분center : tranversive axis의 중점 3. 방정식평면좌표에서 평행이동, 회전이동을 고려하지 않았을 때 두 초점을 (p,0),(-p,0)으로 두고 쌍곡선 위의 점 (x,y)에 대하여 일정한 거리의 차를 2a,a>0로 놓으면\[\sqrt {(x-p)^2 + y^2} - \sqrt{(x+p)^2 + y^2} = \pm 2a \\ (x-p)^2 + y^2 =4a^2 \pm 4a \sqrt {(x+p)^2 + y^2} +(x+p)^2 + y^2 \\ ..

ellipse 1. 정의평면 위의 점 두개(초점, foci)에 대해 일정한 거리의 합을 가지는 점들의 집합 2. 명칭꼭짓점(vertices) : 두 초점을 지나는 직선과 타원의 교점장축(major axis) : 꼭짓점을 이을 때 생기는 현(chord)중심(center) : 장축의 중점단축(minor axis) : 장축을 수직이등분하는 현 3. 방정식평면에서 평행이동, 회전변환을 고려하지 않았을 때 타원의 두 초점을 (-p,0), (p,0), 임의의 타원 위의 점 (x,y)에 대해 일정한 거리의 합을 2a, (a>0)라고 놓으면 $$\sqrt {(x+p)^2 + y^2} + \sqrt{(x-p)^2 +y^2 } = 2a$$ \[ (x+p)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a \sqrt{(x-p)^2 + y^..

parabola 1. 정의평면 위에서 어떤 고정된 선(준선, directrix)와 고정된 점(초점, focus)에 대해 거리가 같은 점들의 집합 2. 명칭꼭짓점(vertex) : 준선와 초점의 중점축(axis) : 초점와 꼭짓점를 지나는 직선회전변환을 고려하지 않을 때 대표적인 식으로는 $x^2 = 4py$ , $y^2 = 4px$ 정도가 있다. 3. standard equation회전변환과 평행이동을 고려하지 않을 때 평면 위에서 포물선의 방정식을 나타낼 것이다. 꼭짓점을 (0,0)으로 놓았을 때 평행이동은 나중에 시킬 수 있으므로 초점 (0,p) 준선은 y=-p로 놓자.(p>0) 포물선 위의 임의의 한 점을 (x,y)로 놓았을 때 거리를 비교하면\[(y+p)^2 = x^2 + (y-p)^2..