Theorem. Compact subsets of metric spaces are closed. proof.metric space \(X\)의 compact subset \(K\)를 잡아요.closed를 직접 보이기는 어려우므로 \(K^c\)가 open임을 보이면 되요.어떤 \(p \in K^c , q \in K\)에 대해 radius가 \(\frac {1}{2} d(p,q)\)가 되도록 하는 각 점의 neighborhood를 \(V ,W\)라 해요.K가 compact set이므로 \(K \in \bigcup _{\alpha = 1} ^{n} W_{q_{\alpha}} = W \)가 되도록 하는 유한한 점들 \(q_1 , q_2 , \cdots , q_n \in K \)를 잡을 수 있습니다.let \[ ..

\(X\)를 한 metric space라고 하자. \(E \subset X \), \(Y \subset X\), \(E\)는 open일 때 \(p \in E \cap Y \)인 점 \(p\)가 유일하도록 하는 \(Y\)를 언제나 잡을 수 있는가?

\(E, Y\)는 같은 metric space \(X\)에 속한 집합이라고 하자. \(E\)가 open이면 \(E\)는 언제나 \(Y\)에 대해 open relative 한가?

Theorem. set \(E\)가 open인 것과 \(E\)의 complement가 closed인 것과 동치이다. proof. \(E\)가 open이라면 \(x\)를 \(E^c \)의 limit point로 잡아요. limit point의 정의에 의해, \(x\)의 neighborhood는 \(E^c\)의 \(x\)가 아닌 적어도 한 점을 포함하게 됩니다. \(E\)가 open이므로, \(E\)의 모든 점이 \(E\)의 interior point이어야 하므로, \(x \notin E\) 즉, \(x \in E^c\)이에요. 이것은 정의에 의해 \(E^c\)가 closed set임을 말합니다. \(E^c\)가 closed라면 \(x \in E\)인 \(x\)를 하나 잡아요. 그러면 \(x \notin E..

Theorem. set \(E\)에 속한 어떤 point \(p\)가 limit point라면, \(p\)의 모든 neighborhood는 \(E\)에 포함된 infinite 한 점을 가진다. 그럼 이번에는 limit point의 정의를 보겠습니다. Definition 1. 한 점 \(p\)에 대해 모든 neighborhood가 \(q \in E\)인 점 \(q \not= p \)를 가지면 \(p\)는 set \(E\)의 limit point이다. proof)limit point의 조건을 잘 살리면 되겠죠.Theorem에서 \(p\)의 neighborhood의 radius을 \(r>0\)로 고정해요. Definition 1에 의해 \(d(p,q_1)

Theorem. 모든 neighborhood은 open set이다. 이 자명해보이는 문제를 풀어볼려고 합니다.그럼 먼저 neighborhood와 open set에 대해 알아야해요.여기서 말하는 points, sets는 모두 metric space 위에서 정의된 것입니다. Definition 1. radius \(r\), a point \(p\)가 주어졌을 때 neighborhood는 \(d(p,q)