Concave Upward

for interval I=[a,b], f is continuous on [a,b], f is differentiable on (a,b)

$$\forall x_1, x_2 \in {a,b} , \; \forall \gamma \in (0,1)  \quad f(\gamma x_1 + (1-\gamma )x_2) < \gamma f(x_1) + (1-\gamma) f(x_2)$$

implies

$$\forall x,c \in [a,b], \; x \not= c, \quad f(x) > f(c) + f'(c) (x-c)$$

가정은 내분점을 이용해서 한 볼록의 정의이고, 결론은 도함수로 선형근사를 한 함수의 대소관계를 이용한 볼록의 정의이다.

$$take \; c = \gamma x_1 + (1-\gamma ) x_2$$

더 좋은 접근을 위해 c를 위와 같이 잡는다. 결론적으로 도함수와 관련있는 결과를 만들기 위해 다음과 같은 과정을 거친다.

$$WLOG \quad x_1 < x_2, \quad  since \; \gamma \in (0,1), \quad c \in (x_1, x_2)$$

$$\begin{align} f(c) & < \frac {c-x_2} {x_1 -x_2 } f(x_1) + (1- \frac {c-x_2} {x_1-x_2} ) f(x_2) \\  & = \frac {c-x_2} {x_1 - x_2} f(x_1) + \frac {x_1 -c}{x_1 -x_2} f(x_2)7ㅗ \\ & = \frac {f(x_1) - f(x_2) } {x_1 - x_2} (c-x_2) + \frac {f(x_1)x_1 -cf(x_2)}{x_1 - x_2} \\ & = \frac {f(x_1) -f(x_2)} {x_1 - x_2} (c-x_2) + f(x_2) \end{align}$$

$$\therefore \frac {f(c) - f(x_2)} {c-x_2} > \frac {f(x_1) -f(x_2)}{x_1 -x_2}$$

똑같은 방법으로 계산하면 문제와 관련하여 의미 있는 결과가 나타난다.

$$f(c) < \frac {f(x_1) - f(x_2)}{x_1 -x-2} (c-x_1 ) + f(x_1 )$$

$$\frac {f(c) -f(x_1)} {c-x_1} < \frac {f(x_1) -f(x_2)}{x_1 -x_2}$$

$$\therefore \frac {f(c) -f(x_1) } {c-x_1} < \frac {f(x_1) -f(x_2)}{x_1 -x_2} < \frac {f(c) -f(x_2)} {c-x_2}$$

결론을 다시 살펴보면

$$f(x) -f(c) > f'(c) (x-c)$$

먼저 $x>c$일 때, $c<z_0 < z_1 <x$이 되도록 $z_0 ,z_1$을 잡아주자. 위에서 변형한 정의에 의해 다음 식이 성립한다.(fixing c,z_1,x)

$$\frac {f(z_0 ) -f(c)} {z_0 -c} < \frac {f(z_1) -f(c)} {z_1 -c} < \frac {f(x) - f(c) } {x-c}$$

$$f'(c) =\lim _{z_0 \rightarrow c^+} \frac {f(z_0 -f(c)} {z_0 -c} \le \frac {f(z_1) -f(c)} {z_1 -c} < \frac {f(x) -f(c)} {x-c}$$

$x<c$일 때도 같은 방법으로 한다. $x<z_1<z_0<c$가 되도록 $z_0, z_1$을 잡아주자.

$$f'(c) = \lim _{z_0 \rightarrow c^- } \frac {f(c) -f(z_0)}{c-z_0} \ge \frac {f(c) -f(z_1)}{c-z_1} > \frac {f(c) -f(x)}{c-x}$$

$$\therefore f(x) -f(c) > f'(c) (x-c)$$