시컨트-미적분

1. 미분

$$\frac {d}{dx} \sec x = \frac {d}{dx} \frac {1}{\cos x} = (-\sin x) \cdot (- \cos^2 x ) = \sec x \tan x$$

chain rule을 적용하면 바로 풀린다.

2. 부정적분

조금 접근이 어려운 편이다..

$$\int \sec x dx = \int \sec x \frac { \sec x + \tan x } {\sec x + \tan x } dx = \int \frac {\sec^2 x + \sec x \tan x }{\sec x + \tan x } dx = \log |\sec x + \tan x | + C$$

치환이 되는 형태로 바꾸어나가는 과정이 핵심이다. 결론을 알고 나서 증명을 하는 느낌이다. 

더 직관적인 증명은 다음과 같다.

$$\int \sec x = dx = \int \frac {1}{\cos x} = \int \frac {\cos x}{ \cos^2 x } dx = \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$$

$u = \sin x$로 치환을 하면

$$\int \frac {\cos x }{1-\sin^2 x } dx = \int \frac {1}{1-u^2} du = \int \frac {1}{(1-u)(1+u)} du = \frac {1}{2} \int \frac {1}{1-u} + \frac {1}{1+u} du\\ = \frac {1}{2} [ -\log (1-u) + \log (1+u) ] + C= \frac {1}{2} \log \frac {1+ \sin x } {1- \sin x } + C$$

부분분수화 하는 부분이 인상적이다. 이제 식을 원하는 형태로 정리하면 된다.

$$\frac 1 2 \log \frac {1+\sin x}{1-\sin x} = \log \sqrt {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$$

$$\sqrt {\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} = \sqrt{\frac {\sin^2 x +2 \sin x + 1}{\cos^2 x} } = \sqrt { \tan^2 x +2 \tan x \sec x + \sec^2 x } = |\tan x + \sec x|$$

$$\therefore \int \sec x = \log |\tan x + \sec x | + C$$