역탄젠트-미적분

arctangent

1. 미분

$$y = \tan ^{-1} x$$

$$\tan y = x$$

$$\frac {\tan y }{dx} = 1$$

$$\frac {dy}{dx} = \cos^2 y$$

$$x^2 = \tan^2 y = \frac {1-\cos^2 y}{\cos^2 y}$$

$$\therefore \frac {d}{dx} \tan^-1 x = \cos^2 y = \frac {1}{1+x^2 }$$

chain rule을 이용해 식을 적절히 전개한다.

2. 부정적분

$$\int \tan^{-1} x dx = x \tan ^{-1} x - \int x \frac {1}{1+x^2} dx = x \tan ^{-1} x - \frac {1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} 2x dx = x \tan^{-1} x - \frac {\log {(1+x^2)}}{2} + C$$

부분적분, 치환적분을 적용하면 해결된다. 정적분은 치환이 되는 부분만 주의해서 계산하면 똑같이 해결할 수 있다.