Extreme Value Theorem 구간 [a,b]에서 연속인 함수 f에 대해 \[ \exists c,d \in [a,b] \quad \mathrm{s.t.} \quad \forall x \in [a,b], \quad f(c) \le f(x) \le f(d) \] 먼저 f는 [a,b]에서 bounded임을 보일 것이다. 집합 \(S = \{ x | f \; \mathrm{is \ bounded \ on} \; [a,x] \} \)를 잡았을 때, \(a \in S\), \(S \in \mathbb{R}\)이고 upper bound가 있으므로 완비성 공리에 의해 \(c = \sup S \)가 존재한다. \[ \mathrm{Claim. \; c=b} \] c=a일 때를 보자. f는 a에서 연속이므로 \[ ..

Mean Value Theorem극한을 직접 계산하지 않고도 구간 안에 어떤 미분값이 존재함을 알려주는 멋진 정리이다. f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능할 때\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ that} \quad f'(c) = \frac {f(a)-f(b)}{a-b} \] 이 정리에서 f(a)=f(b)일 때가 롤의 정리이고, 반대로 롤의 정리에서 이 정리가 쉽게 유도된다.\[ g(x) = f(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)\]를 생각해보면 g(a)=g(b), g는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능하므로 롤의 정리를 적용하여\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ ..

Rolle's Theorem어떤 구간 [a,b]에서 f(a)=f(b)이고 함수 f는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능할 때 f'(c)=0인 c가 (a,b)에 존재한다. f가 상수함수가 아닌 이상 최대와 최소가 존재할 것이고 그 근처에서 페르마의 정리를 사용하면 증명이 가능해보인다.만약\[ \forall x \in [a,b], \quad f(x)=f(a)=f(b)\]라면 (a,b)의 아무 점 c를 잡아서\[ f'(c) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(c+h)-f(c)}{h} = 0 \]임을 쉽게 보일 수 있다. 좀 더 엄밀하게 적을 때는 델타를 c+h가 (a,b)를 벗어나지 못하게 잡으면 된다. 이제\[x \in [a,b], \quad f(x) \not = f(a..

Fermat's theoremf가 [a,b]에서 연속이다. \(c \in (a,b)\)에 대해 f가 c에서 미분 가능하고 c에서 극대/극소값을 가질 때, f'(c)=0이다. f'(c)>0이라고 가정했을 때 미분의 정의에 의해\[ \forall \epsilon>0, \; \exists \delta>0 \quad s.t. \quad 0

first derivative testf는 c 근처에서 연속이고 미분 가능할 때 그런 구간 (a,b)를 잡아서 \( f'(c)=0, \; f'(x)>0 \; if \; a0 이면 f는 c에서 극솟값을 가진다.f'(c)=0, f''(c)0, x>c일 때 f'(x)0\)이므로 \(f'(c)>f'(x)\)이다.\(\forall x \in (c,b)\)에 대해 f'은 [c,x]에서 연속이고 (c,x)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해 \(f''(d_2) = \frac {f'(c)- f'(x)} {c-x} \)인 \(d_2\)가 (c,x) 안에 존재한다. \(f''(d_2)>0\)이므로 \(f'(c)

Intermediate Value Theorem\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속일 때, \(f(a)

[a,b]에서 연속이고 일대일대응인 함수 f에 대해 f는 [a,b]에서 증가 또는 감소한다. 증가와 감소를 동시에 보이기는 어려우므로 지금은 f(a)

for interval I=[a,b], f is continuous on [a,b], f is differentiable on (a,b)\[\forall x_1, x_2 \in {a,b} , \; \forall \gamma \in (0,1) \quad f(\gamma x_1 + (1-\gamma )x_2) f(c) + f'(c) (x-c)\]가정은 내분점을 이용해서 한 볼록의 정의이고, 결론은 도함수로 선형근사를 한 함수의 대소관계를 이용한 볼록의 정의이다. \[take \; c = \gamma x_1 + (1-\gamma ) x_..

\[ f(n) = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + \cdots + a_1 n + a_0 \qquad a_k , a_{k-1} , \cdots , a_0 \in \mathbb{Z} \]0 이상의 정수 \(n\)에 대해 \(f(n)\)이 소수인 함수는 존재하지 않는다. proof.0 이상의 정수 \(n\)에 대해 \(f(n)\)이 소수인 \(f\)가 존재한다고 하자.이때 \(f(n_0) \)가 소수 \(p\)가 되는 \(n_0\)를 하나 잡자.\[ \begin{align} f(n_0 + tp ) & = a_k (n_0 + tp)^k + a_{k-1} (n_0 + tp )^{k-1} + \cdots + a_1 (n_0 + tp) + a_0 \\ & = (a_k n_0 ^k + a_{k-1} ..

\[ \sum _{n=-\infty} ^\infty (-1)^n q^{n(3n-1)/2} = \sum _{n=-\infty} ^\infty (-1)^n q^{n(3n+1)/2} = (q;q)_\infty \]첫번째 식에 \(n\) 대신 \(-n\)을 넣었을 때 두번째 식이 되고, 결과적으로 의미가 있는 것은 세번째 식이라고 할 수 있겠다.Ramanujan's notation 중 하나를 생각한다. 이 글에서 음의 무한부터 양의 무한까지의 급수는 간단하게 \(\sum\)으로 나타낸다.left hand side ::\[ f(-q) = f(-q;-q^2 ) = \sum (-q)^{n(n+1)/2} (-q^2 )^{n(n-1)/2 } = \sum (-1)^n q^{n(3n-1)/2} \] right hand si..