Extreme Value Theorem 구간 [a,b]에서 연속인 함수 f에 대해 먼저 f는 [a,b]에서 bounded임을 보일 것이다. 집합 를 잡았을 때, , 이고 upper bound가 있으므로 완비성 공리에 의해 가 존재한다. c=a일 때를 보자. f는 a에서 연속이므로 \[ ..
Mean Value Theorem극한을 직접 계산하지 않고도 구간 안에 어떤 미분값이 존재함을 알려주는 멋진 정리이다. f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능할 때 이 정리에서 f(a)=f(b)일 때가 롤의 정리이고, 반대로 롤의 정리에서 이 정리가 쉽게 유도된다.를 생각해보면 g(a)=g(b), g는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능하므로 롤의 정리를 적용하여\[ \exists c \in (a,b) \quad \mathrm{such \ ..
Rolle's Theorem어떤 구간 [a,b]에서 f(a)=f(b)이고 함수 f는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능할 때 f'(c)=0인 c가 (a,b)에 존재한다. f가 상수함수가 아닌 이상 최대와 최소가 존재할 것이고 그 근처에서 페르마의 정리를 사용하면 증명이 가능해보인다.만약라면 (a,b)의 아무 점 c를 잡아서임을 쉽게 보일 수 있다. 좀 더 엄밀하게 적을 때는 델타를 c+h가 (a,b)를 벗어나지 못하게 잡으면 된다. 이제\[x \in [a,b], \quad f(x) \not = f(a..
Fermat's theoremf가 [a,b]에서 연속이다. 에 대해 f가 c에서 미분 가능하고 c에서 극대/극소값을 가질 때, f'(c)=0이다. f'(c)>0이라고 가정했을 때 미분의 정의에 의해\[ \forall \epsilon>0, \; \exists \delta>0 \quad s.t. \quad 0
first derivative testf는 c 근처에서 연속이고 미분 가능할 때 그런 구간 (a,b)를 잡아서 이므로 이다.에 대해 f'은 [c,x]에서 연속이고 (c,x)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해 인 가 (c,x) 안에 존재한다. 이므로 \(f'(c)
Intermediate Value Theorem가 에서 연속일 때, \(f(a)
[a,b]에서 연속이고 일대일대응인 함수 f에 대해 f는 [a,b]에서 증가 또는 감소한다. 증가와 감소를 동시에 보이기는 어려우므로 지금은 f(a)
for interval I=[a,b], f is continuous on [a,b], f is differentiable on (a,b)가정은 내분점을 이용해서 한 볼록의 정의이고, 결론은 도함수로 선형근사를 한 함수의 대소관계를 이용한 볼록의 정의이다. \[take \; c = \gamma x_1 + (1-\gamma ) x_..
0 이상의 정수 에 대해 이 소수인 함수는 존재하지 않는다. proof.0 이상의 정수 에 대해 이 소수인 가 존재한다고 하자.이때 가 소수 가 되는 를 하나 잡자.\[ \begin{align} f(n_0 + tp ) & = a_k (n_0 + tp)^k + a_{k-1} (n_0 + tp )^{k-1} + \cdots + a_1 (n_0 + tp) + a_0 \\ & = (a_k n_0 ^k + a_{k-1} ..
첫번째 식에 대신 을 넣었을 때 두번째 식이 되고, 결과적으로 의미가 있는 것은 세번째 식이라고 할 수 있겠다.Ramanujan's notation 중 하나를 생각한다. 이 글에서 음의 무한부터 양의 무한까지의 급수는 간단하게 으로 나타낸다.left hand side :: right hand si..