Extreme Value Theorem
구간 [a,b]에서 연속인 함수 f에 대해
∃c,d∈[a,b]s.t.∀x∈[a,b],f(c)≤f(x)≤f(d)∃c,d∈[a,b]s.t.∀x∈[a,b],f(c)≤f(x)≤f(d)
먼저 f는 [a,b]에서 bounded임을 보일 것이다. 집합 S={x|fis bounded on[a,x]}S={x|fis bounded on[a,x]}를 잡았을 때, a∈Sa∈S, S∈R이고 upper bound가 있으므로 완비성 공리에 의해 c=supS가 존재한다.
Claim.c=b
c=a일 때를 보자. f는 a에서 연속이므로
takeϵ=1,∃δ>0s.t.|x−c|<δimplies|f(x)−f(c)|<1
∀x∈[a,a+δ)impliesf(a)−1<f(x)<f(a)+ϵ
따라서 a+12δ∈S이므로 c가 supS라는 데에 모순이다.
a<c<b일 때를 보자. f는 c에서 연속이므로
takeϵ=1,∃δ>0such that|x−c|<δimplies|f(x)−f(c)|<\1
c+12δ를 생각하면 일단 f는 연속성에 의해 (c−δ,c+12δ]에서 bounded이다.
(c−δ,c]에 d∈S인 d가 존재한다. 만약 존재하지 않는다면 c−δ<c인데 c가 upper bound라면 c−δ도 upper bound가 되므로 c=supS에 모순이다.
∃d∈(c−δ,c]such thatd∈S
[a,d]가 bounded이고, (c−δ,c+12δ]도 bounded 이므로 [a,c+12δ]가 bounded이다. c+12δ∈S 이므로 가정에 모순이다.
따라서 c=b, f는 [a,b]에서 bounded이다.
T를 f([a,b])로 놓았을 때 f는 bounded이므로 T의 sup, inf가 존재한다. 그것을 각각 M,N으로 놓았을 때 [a,b]에 f(v)=M이되는 v가 존재함을 보이면 된다. N에 대해서도 비슷하게 접근한다.
Assume∀x∈[a,b],f(x)<M
0<M−f(x)이므로 새로운 함수 g(x)=1M−f(x)를 생각했을 때 [a,b]에서 연속이다.
방금 증명한 것을 적용하여 g도 [a,b]에서 bounded하므로
∃P>0such that1M−f(x)<P∀x∈[a,b]
그런데 식을 변형하면 모든 [a,b] 내의 x에 대해 f(x)<M−1P이므로 M=supT에 모순이다.
따라서 가정이 거짓이다. 최소값에 대해서도 같은 방식으로 하자.
Assume∀x∈[a,b],f(x)>N
h(x):=1f(x)−N>0,continuous on[a,b]
by previous lemma, h is bounded on [a,b]
∃Q>0such that1f(x)−N<Q∀x∈[a,b]
∀x∈[a,b],f(x)>N+1Q,→←
따라서 최대값과 최소값이 [a,b]에 존재한다.