Derivative Tests

first derivative test

f는 c 근처에서 연속이고 미분 가능할 때 그런 구간 (a,b)를 잡아서 $f'(c)=0, \; f'(x)>0 \; if \; a<x<c, \; f'(x)<0 \; if \; c<x<b$ 일 때 f는 c에서 극댓값을 가진다. f'의 부호가 반대일 경우는 극소이다.

극대의 경우를 보았을 때, 만약 $\exists x \in (a,b)\setminus \{ c \} \quad s.t. \quad f(x)\ge f(c)$라고 가정해보자. f'의 부호를 확실하기 위해 두 가지 경우로 나눠볼 수 있다.

$a<x<c$일 때 만약 $f(x)\ge f(c)$이면 평균값 정리에 의하여

$$\exists d_1 \in (x,c) \quad s.t. \quad f'(d_1) = \frac {f(x) -f(c)}{x-c} \le 0$$

$f'(d_1) >0$이므로 가정에 모순이다.

만약 $c<x<b$일 때 $f(x) \ge f(c)$이면 평균값 정리에 의하여

$$\exists d_2 \in (c,b) \quad s.t. \quad f'(d_2) = \frac {f(x)-f(c)}{x-c} \ge 0$$

$f'(d_2) <0$이므로 가정에 모순이다.

따라서 구간 (a,b)에서 함수가 최대값을 가지는 점은 c이다. 따라서 f는 c에서 극대값을 가진다.

극소의 경우에도 동일하게 증명 가능하다.

second derivative test

f''이 c 근처에서 연속일 때

f'(c)=0, f''(c)>0 이면 f는 c에서 극솟값을 가진다.

f'(c)=0, f''(c)<0 이면 f는 c에서 극댓값을 가진다.

f''을 극한식으로 바로 풀려고 하면 잘 안된다. 그런 분수 꼴의 극한에 부호가 걸려있으면 정보를 얻기가 힘들기 때문이다.

여기서 소개하는 증명은 first derivative test를 이용한 것이다. 즉, f가 c에서 극솟값을 가질 때 f'(c)=0이고 c 근처에서 x<c일 때 f'(x)>0, x>c일 때 f'(x)<0이다. 이미 f'(c)=0이라는 조건이 주어져 있으므로 이것을 적용하기 꽤 적절해 보인다.

f''이 c 근처에서 연속하도록 설정된 구간 (a,b)에 대해

c를 기준으로 양쪽을 나누면 (a,c), (c,b) 가 된다.

$\forall x \in (a,c)$에 대해 f'은 [x,c]에서 연속이고 (x,c)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해 $f''(d_1) = \frac {f'(c) -f'(x)} {c-x}$인 $d_1$이 (x,c) 안에 존재한다. $f''(d_1)>0$이므로 $f'(c)>f'(x)$이다.

$\forall x \in (c,b)$에 대해 f'은 [c,x]에서 연속이고 (c,x)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해 $f''(d_2) = \frac {f'(c)- f'(x)} {c-x}$인 $d_2$가 (c,x) 안에 존재한다. $f''(d_2)>0$이므로 $f'(c)<f'(x)$이다.

first derivative test에 의해 f는 c에서 극솟값을 가진다. 극댓값의 경우에도 일반성을 잃지 않고 부호만 적절하게 바꾸면 비슷하게 증명 가능하다.