이차곡선의 회전변환

1. 정의

평면 위의 모든 이차곡선은 다음과 같은 식을 가집니다.

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

2. 동기

일반적으로 이차곡선을 좌표평면에 나타낼 때 표준형은 xy항이 없을 때만 찾을 수 있으므로 이 식이 어떤 종류의 이차곡선을 가지는 지 알기 위해서 xy항을 없애야 합니다. 이 때 사용되는 방법이 회전변환인데, 이유는 평면 위에서 크게 생각할 수 있는 두 가지 변환인 회전변환과 평행이동 중에서 회전변환만 xy항에 관여할 수 있기 때문입니다.

평면에서의 반시계방향으로 $\theta$만큼 돌리는 회전변환을 행렬을 이용해 나타내면 다음과 같습니다.

$$\pmatrix {X \\ Y} = \pmatrix { \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta } \pmatrix {x \\ y}$$

쉬운 진행을 위해 점이 아닌 축을 회전시키는 것을 생각하겠습니다. 변환한 점 (X,Y)에 form을 맞추어서 (x,y)를 대입하는 것보다 (x,y)에 꼴을 대입하는 것이 더 쉽기 때문입니다.

축을 반시계방향으로 $\theta$만큼 돌리게 되면 (x,y)에 대해 회전변환된 점 (X,Y)는

$$\pmatrix {x \\ y } = \pmatrix { \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta } \pmatrix{X \\ Y}$$

3. 회전변환각

이차곡선의 일반식에 위 값을 대입해줍니다. (X,Y)는 편의상 여기서 (x,y)로 나타냅니다.

$$A( x\cos \theta - y \sin \theta )^2 + B (x\cos \theta - y\sin \theta ) ( x \sin \theta + y \cos \theta ) + C (x \sin \theta + y \cos \theta )^2 \\ + D(x \cos \theta - y \sin \theta ) + E (x \sin \theta + y \cos \theta ) + F = 0$$

xy항의 계수만 계산하면

$$-2A \cos \theta \sin \theta + B \cos ^2 \theta - B \sin^2 \theta + 2C \sin \theta \cos \theta$$

결과적으로 이 값이 0이 되도록 하는 $\theta$ 를 구해야 합니다. 삼각함수의 덧셈정리를 써서

$$(C-A) \sin 2 \theta + B \cos 2 \theta = 0$$

$$\frac {A-C}{B} = \frac {\cos 2 \theta} {\sin 2 \theta}$$

$$\therefore \cot 2\theta = \frac {A-C}{B}$$

꼴을 cot으로 정리한 이유는 분모가 0이 되는 것을 방지하기 위해서입니다.

4. 불변량

나머지 식을 모두 정리했을 때 불변량이 생긴다. 새로 바꾼 식을 다음과 같이 놓았을 때,

$$A' x^2 + B' xy + C' y^2 + D' x + E' y + F'$$

$$F=F'$$

$$A+C = A' + C'$$

$$B^2 - 4AC = B'^2 - 4A'C'$$

으로 일정하고, 증명은 그냥 대입하면 풀립니다.

사용되는 예로는 타원의 넓이는 $\pi a b$로 구하는데, 직접 변환하지 않고 $B^2 -4AC$가 보존된다는 성질을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

5. 대칭행렬을 통한 접근

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

에서 $\mathbf{x} = \pmatrix {x \\ y}$로 놓고 대칭행렬을 이용해 다음과 같은 구성이 가능합니다.

$$\mathbf{x}^T \pmatrix { A & B/2 \\ B/2 & C} \mathbf{x} + \pmatrix{D & E} \mathbf{x} = -F$$

이 때, 대칭행렬 $\pmatrix { A & B/2 \\ B/2 & C}$는 수직 대각화(orthogonal diagonalization)이 가능하기 때문에

$$\pmatrix { A & B/2 \\ B/2 & C} = Q G Q^T$$

로 표현할 수 있습니다. 이 때, $Q$는 수직 행렬(orthogonal matrix)이고 $G$는 대각 행렬(diagonal matrix)입니다.

즉, $\mathbf{x}^T Q G Q^T \mathbf{x} + \pmatrix{D & E} \mathbf{x} = -F$가 됩니다.

여기서 $\mathbf{y} = Q^T \mathbf{x}$로 놓으면

$$\mathbf{y}^T G \mathbf{y} + \pmatrix{D & E} Q  \mathbf{y} = -F$$

위 식을 전개하면 대각행렬의 정의에 의해 xy항이 없어졌음을 확인할 수 있습니다.

정리하자면, 수직 대각화했을 때의 $Q^T$가 이차곡선을 표준형으로 만드는 변환행렬입니다.