쌍곡선

hyperbolas

1. 정의

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두 초점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합

2. 명칭

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branches : 두 곡선

꼭짓점(vertices) : branches와 초점을 이은 직선으로 사이의 두 교점

tranversive axis : 두 꼭짓점을 이은 선분

center : tranversive axis의 중점

3. 방정식

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평면좌표에서 평행이동, 회전이동을 고려하지 않았을 때 두 초점을 (p,0),(-p,0)으로 두고 쌍곡선 위의 점 (x,y)에 대하여 일정한 거리의 차를 2a,a>0로 놓으면

$$\sqrt {(x-p)^2 + y^2} - \sqrt{(x+p)^2 + y^2} = \pm 2a \\ (x-p)^2 + y^2 =4a^2 \pm 4a \sqrt {(x+p)^2 + y^2} +(x+p)^2 + y^2 \\ px+a^2 = \mp a \sqrt{(x+p)^2 + y^2 } \\ p^2 x^2 + 2a^2 px +a^4 = a^2 (x^2 + 2px + p^2 + y^2 ) \\ p^2 x^2 + a^4 = a^2 x^2 + a^2 p^2 + a^2 y^2 \frac {x^2 }{a^2} - \frac {y^2}{p^2 - a^2 } = 1 \\ \text{Let} \; p^2 - a^2 = b^2, \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} = 1$$

초점이 y축 위에 있을 때는 위 식을 원점 대칭시키면 된다.

$$-\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

4. 접선

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여러 가지 방법으로 구할 수 있겠지만, 여기서는 미분을 이용해서 기울기를 구할 것이다. $\frac {x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$이 $(\alpha, \beta )$에서 접한다고 생각하자. 

$$\frac {d}{dx} \frac {x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \frac {d}{dx}1$$

$$\frac {2x}{a^2} - \frac {d}{dy} \left( \frac {y^2} {b^2} \right) \frac {dy}{dx}   = 0$$

$$\frac {2x}{a^2} - \frac {2y}{b^2} \frac {dy}{dx} = 0$$

$$\frac {dy}{dx} = \frac {x b^2}{y a^2}$$

$\therefore \; (\alpha, \beta )$ 에서 접선의 기울기 = $\frac {b^2 \alpha} {a^2 \beta}$

이 때 접선은 $(\alpha,\beta)$를 지나므로 y절편을 q로 놓았을 때

$$\beta = \frac{b^2 \alpha}{a^2 \beta} \alpha + q$$

$$q = \beta - \frac {b^2 \alpha}{a^2 \beta } \alpha$$

$$y = \frac {b^2 \alpha}{a^2 \beta} x + \beta - \frac {b^2 \alpha}{a^2 \beta} \alpha$$

$$\frac {\beta y} {b^2} = \frac {\alpha x} {a^2} + \frac {\beta ^2}{b^2} - \frac {\alpha ^2}{a^2} = -1$$

$$\frac {\alpha x}{a^2} - \frac {\beta y}{b^2} = 1$$