사이클로이드와 매개변수 방정식

Cycloid and Parametric Equations

$$x^2 + y^2 = 1$$

반지름이 1인 원의 방정식을 나타낼 때 $x = \cos \theta , y = \sin \theta$로 놓기도 한다.

이렇게 그래프가 주어졌을 때 점의 각 좌표를 나타내는 함수식으로 그래프를 표현하는 것이 더 쉽다. 이 글에서는 사이클로이드 방정식을 매개변수로 유도할 것이다.

1. 정의

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The curve traced out by a point on the circumference of a circle as the circle rolls along a straight line

한 직선을 원이 굴러가면서 원 위의 일정한 점이 남긴 자취

2. 방정식

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사이클로이드와 같은 모양은 원을 이용해서 길이만 잘 나타내주면 매개변수식으로 나타낼 수 있다.

(Reference : http://jwilson.coe.uga.edu/)

반지름이 r인 원이 굴러갈 때 한 순간을 저렇게 나타내면 호의 길이와 굴러간 거리가 같으므로 원의 중심의 좌표는 $(r\theta ,r)$이다.

점 P의 좌표를 구할 때 위와 같이 직각삼각형을 그리면 $\overline{PQ} = r \sin \theta , \; \overline{CQ} = r \cos \theta$ 이므로

$$x= r \theta - r \sin \theta \\ y=r  - r \cos \theta )$$

3. 변형된 사이클로이드

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원을 다른 원 위에서 굴리거나, 원의 안쪽이나 바깥쪽 점을 잡아서 고정하는 식으로 변형이 가능하다. 사이클로이드의 방정식을 구하는 방법과 거의 동일하게 접근한다.

3.1 Cutrate Cycloid, Prolate Cycloid

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직선 위를 굴러가는 원 위가 아닌 원의 안쪽과 바깥쪽에 고정된 점에 대해서도 생각해 볼 수 있겠다.

이렇게 원의 반지름을 R, 선분 OP의 길이를 r로 놓았을 때

R>r이면 curtate cycloid, R<r이면 prolate cycloid라고 부른다.

두 개 모두 방정식의 증명은 위와 동일하며 결과는

$$x = R \theta - r \sin \theta \\ y = R - r \cos \theta$$

3.2 Hypocycloid

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(Reference : wolfram mathworld)

hypocycloid는 원 안쪽을 굴러가는 경우에 대해 생기는 자취이다.

큰 원의 반지름을 R, 작은 원의 반지름을 r로 놓았을 때

호 BP의 길이와 호 BC의 길이가 같으므로

$$R \theta = r \theta '$$

작은 원의 중심 A의 좌표는 $((R-r) \cos \theta , (R-r) \sin \theta )$

A를 기준으로 P의 좌표는 $(r \cos (\theta ' - \theta ), - r \sin (\theta ' - \theta )$

$$x = (R-r) \cos \theta + r \cos \frac {R-r} {r} \theta \\ y= (R-r) \sin \theta - r \sin \frac {R-r} {r} \theta$$

3.3 Epicycloid

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hypocycloid와 반대로 원이 원 바깥쪽을 따라서 움직인다.

매개변수 방정식과 그 증명 hypocycloid와 거의 동일하며 결과는 다음과 같다.

$$x = (R-r) \cos \theta - r \cos \frac {R-r} {r} \theta \\ y= (R-r) \sin \theta + r \sin \frac {R-r} {r} \theta$$