q-series
1. 정의
(a)0:=(a;q)0:=1,(a)n:=(a,q)n:=n−1∏k=0(1−aqk),n≥1
(a)∞:=(a;q)∞:=∞∏k=0(1−aqk),|q|<1
(1−a)(1−aq)⋯(1−aqk)⋯
와 같은 형태이다. 이 급수를 잘 이용하면 몇몇 수론의 문제들을 쉽게 접근할 수 있다.
2. 예
오일러의 정수 분할
가우스 계수
3. 팩토리얼
a 대신 a>0에 대해 qa를 넣고, q가 1로 갈 때 로피탈의 정리를 쓰자.
limq→1(qa)n(1−q)n=limq→11−qa1−q1−qa+11−q⋯1−qa+n−11−q
=a(a+1)⋯(a+n−1)
우변과 같은 형태를 rising factorial이라고 하며, 이것을 통해 q-series와의 관계가 있다는 것을 알 수 있다.