q-급수

    q-series

    1. 정의

    2. 예

    3. 팩토리얼


    1. 정의


    (a)0:=(a;q)0:=1,(a)n:=(a,q)n:=k=0n1(1aqk),n1

    (a):=(a;q):=k=0(1aqk),|q|<1


    (1a)(1aq)(1aqk)

    와 같은 형태이다. 이 급수를 잘 이용하면 몇몇 수론의 문제들을 쉽게 접근할 수 있다.


    2. 예


    오일러의 정수 분할

    가우스 계수


    3. 팩토리얼


    a 대신 a>0에 대해 qa를 넣고, q가 1로 갈 때 로피탈의 정리를 쓰자.

    limq1(qa)n(1q)n=limq11qa1q1qa+11q1qa+n11q

    =a(a+1)(a+n1)

    우변과 같은 형태를 rising factorial이라고 하며, 이것을 통해 q-series와의 관계가 있다는 것을 알 수 있다.

    Posted by Lamplighter