|q|<1이고 z≠0일 때 다음이 성립한다.
∞∑n=−∞znqn2=(−zq;q2)∞(−qz;q2)∞(q2;q2)∞
Ramanujan식으로 쓰면 f(a,b)=(−a;ab)∞(−b;ab)∞(ab;ab)∞
q-binomial theorem에서 나왔던 Euler의 식을 사용해서 어떤 q-series를 급수 전개한다. (−zq;q2)∞가 아니라 −q/z;q2)∞에서 시작해도 결과는 똑같다. 다만 (q2;q2)∞은 전개하지 않는데, 그 이유는 z가 나오지 않아 식을 앞으로 결과에 맞게 전개해나가는 데에 어려움을 겪기 때문이다.
(−zq;q2)∞=∞∑n=0(zq)nqn(n−1)(q2;q2)n=∞∑n=0znqn2(q2;q2)n=1(q2;q2)∞∞∑n=0znqn2(q2n+2;q2)∞
n이 음수일 때 그 항이 0이 되므로 −∞로 확장시켜도 값은 같다.
1(q2;q2)∞∞∑n=−∞znqn2(q2n+2;q2)∞
아까 했던 식으로 다시 전개했을 때
1(q2;q2)∞∞∑n=−∞znqn2∞∑r=0(−q2n+2)rqr(r−1)(q2;q2)r=1(q2;q2)∞∞∑n=−∞znqn2∞∑r=0(−1)rqr2+r+2nr(q2;q2)r
시그마의 위치를 바꾸어서 정리하면 증명은 끝난다.
1(q2;q2)∞∞∑r=0(−1)rqrz−r(q2;q2)r∞∑n=−∞q(n+r)2zn+r=1(q2;q2)∞∞∑r=0(−q/z)r(q2;q2)r∞∑m=−∞qm2zm=1(q2;q2)∞1(−q/z;q2)∞∞∑m=−∞zmqm2
Exercise. −q/z;q2)∞ 를 전개해서 증명해보자.