|q|<1이고 z0일 때 다음이 성립한다.

    n=znqn2=(zq;q2)(qz;q2)(q2;q2)

    Ramanujan식으로 쓰면 f(a,b)=(a;ab)(b;ab)(ab;ab)


    q-binomial theorem에서 나왔던 Euler의 식을 사용해서 어떤 q-series를 급수 전개한다. (zq;q2)가 아니라 q/z;q2)에서 시작해도 결과는 똑같다. 다만 (q2;q2)은 전개하지 않는데, 그 이유는 z가 나오지 않아 식을 앞으로 결과에 맞게 전개해나가는 데에 어려움을 겪기 때문이다.

    (zq;q2)=n=0(zq)nqn(n1)(q2;q2)n=n=0znqn2(q2;q2)n=1(q2;q2)n=0znqn2(q2n+2;q2)

    n이 음수일 때 그 항이 0이 되므로 로 확장시켜도 값은 같다.

    1(q2;q2)n=znqn2(q2n+2;q2)

    아까 했던 식으로 다시 전개했을 때

    1(q2;q2)n=znqn2r=0(q2n+2)rqr(r1)(q2;q2)r=1(q2;q2)n=znqn2r=0(1)rqr2+r+2nr(q2;q2)r

    시그마의 위치를 바꾸어서 정리하면 증명은 끝난다.

    1(q2;q2)r=0(1)rqrzr(q2;q2)rn=q(n+r)2zn+r=1(q2;q2)r=0(q/z)r(q2;q2)rm=qm2zm=1(q2;q2)1(q/z;q2)m=zmqm2


    Exercise. q/z;q2) 를 전개해서 증명해보자.


    Posted by Lamplighter