sin 급수

$$\sin a + \sin 2a + \cdots + \sin na$$

이 sin 급수를 해결하기 위해서는 각 항을 전개해서 서로 소거되는 형태로 만들어야 한다.  곱해서 없어지는 형태밖에 없으므로 생각해볼 수 있는 식은 sin, cos 관련 공식 중 두 개 정도이다.

$$\sin a \sin b = - \frac {1}{2} \{ \cos (a+b) - \cos (a-b) \}$$

$$\sin a \cos b = \frac {1}{2} \{ \sin (b+a) - \sin (b-a) \}$$

두 번째 식은 sin 급수에서 sin의 값이 변하기 때문에 소거되는 형태로 쓰이기 어려우므로 첫 번째 식을 써야 한다. $\sin a$ 자리에 급수의 sin을 대입하고, 나머지 자리는 $\sin(\frac {1}{2}a)$가 적당해 보인다.

$$\sum _{k=1} ^{n} \sin ka = \frac {1}{\sin \frac{1}{2} a} \sum _{k=1} ^n [-\frac {1}{2} \{\cos (ka+ \frac {1}{2} a ) - \cos (ka - \frac {1}{2} a ) \} ]$$

$$= \frac {1}{-2 \sin \frac {1}{2} a } ( \cos \frac {3}{2} a - \cos \frac {1}{2} a + \cos \frac {5}{2} a - \cos \frac {3}{2} a + \cdots + \cos (n+ \frac {1}{2} a ) - \cos (n - \frac {1}{2} a ))$$ $$= \frac {1}{-2 \sin \frac {1}{2}a } ( \cos (n + \frac {1}{2} a) - \cos \frac {1}{2} a )$$

$$\therefore  \sum _{k=1} ^{n} \sin ka = \frac {1}{-2 \sin \frac {1}{2}a } ( \cos (n + \frac {1}{2} a) - \cos \frac {1}{2} a )$$