수렴하는 수열의 성질
Suppose \( \{ a_n \} , \{ b_n \} \) are complex sequences, c is any complex number
\[ \lim _{n \rightarrow \infty } a_n = a , \; \lim _{n \rightarrow \infty } b_n = b \]
Theorem 1.
\[ \lim _{ n \rightarrow \infty } a_n + b_n = a + b\]
proof.
주어진 \(\epsilon >0 \)에 대해 다음과 같은 integer \(N_1 , N_2 \)가 존재한다.
\[ n \ge N_1 \; \mathrm{implies} \; | a_n - a | < \frac {\epsilon}{2}\]
\[ n \ge N_2 \; \mathrm{implies} \; | b_n - b| < \frac {\epsilon}{2}\]
\( N = \max \{ N_1 , N_2 \}\)로 놓으면
\[ |(a_n + b_n ) - (a+b) | \le |a_n -a| + |b_n - b| < \epsilon \]
Theorem 2.
\[\lim _{n \rightarrow \infty } ca_n = c a \]
proof.
주어진 \(\epsilon >0 \)에 대해 다음과 같은 integer \(N\)이 존재한다.
\[ n \ge N \; \mathrm{implies} \; |a_n - a| < \frac {\epsilon}{|c|} \quad (|c| \not= 0)\]
\[ |ca_n - ca | = |c||a_n - a| <\epsilon \]
Theroem 3.
\[ \lim _{n \rightarrow \infty } a_n b_n = ab \]
proof.
먼저 \(a_n b_n\)을 보면
\[ a_n b_n - ab = (a_n -a) (b_n -b) -2ab + ab_n + ba_n =(a_n -a)(b_n -b) +a(b_n -b)+b(a_n -a) \]
주어진 \(\epsilon >0 \)에 대해 다음과 같은 integer \(N_1 , N_2 \)가 존재한다.
\[ n \ge N_1 \; \mathrm{implies} \; |a_n -a|<\sqrt{\epsilon}\]
\[ n \ge N_2 \; \mathrm{implies} \; |b_n -b|<\sqrt{\epsilon}\]
\( N = \max \{ N_1 , N_2 \}\)로 놓으면 \(|(a_n -a)(b_n -b)| < \epsilon \)이다. 따라서
\[ \lim _{n \rightarrow \infty} (a_n -a)(b_n -b) = 0\]
Theorem 1, Theorem 2에 의하여
\[ \lim _{n\rightarrow \infty} a_n b_n -ab = 0 \]
Theorem 4.
\[ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac {1}{s_n} = \frac {1}{s} \]
proof.
\[ \Big|\frac {1}{s_n}- \frac {1}{s}\Big| = \Big|\frac {s-s_n}{ss_n}\Big|\]
\( m -1 = \inf \{|ss_n|\} \)로 놓자.
convergence의 정의에 의해
주어진 \(\epsilon >0\)에 대해 다음과 같은 \(N\)이 존재한다.
\[ n \ge N \; \mathrm{implies} \; |s - s_n | < (m-1) \epsilon \]
위의 \(N\)에 대하여
\[\Big|\frac {s-s_n}{ss_n} \Big| < \frac {(m-1)\epsilon}{m-1} = \epsilon\]