\( y' = y^{1+C} \)

$$y' = y^{1+C}$$

y는 함수일 때, y는 어떤 성질을 가지는가에 대해서 생각해보았다.

$$y''(x) = \frac {d}{dx} y^{1+C} (x) = (1+C) y^{1+C} (x) y^C (x) = (1+C)y^{2C+1} (x)$$

$$y'''(x) = \frac {d}{dx} (1+C) y^{2C+1} (x) = (1+C)(1+2C) y^{3C+1} (x)$$

귀납적 접근을 위해 $n \in \mathbb{N}$에 대해 다음을 가정한다.

$$y^{(n)} (x) = (1+C)(1+2C) \cdots \{ 1+ (n-1)C \} y^{nC +1} (x)$$

$$y^{(n+1)}(x) = \frac {d}{dx} (1+C)(1+2C) \cdots \{ 1+ (n-1)C \} y^{nC +1} (x) = x) = (1+C)(1+2C) \cdots \{ 1+ (n-1)C \} (1+nC) y^{(n+1)C +1} (x)$$

매클로린 급수 전개를 이용하면 어떤 형태의 급수가 나온다.

$$y(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac { (1+C) \cdots (1+(n-1)C ) y^{nC+1} (0) }{n!} x^n = \sum _{n=0} ^\infty \frac { (C)_n y^{nC+1} (0) } {n!} x^n$$

$(C)_n$이라는 기호는 이 형태의 유한곱을 간단하게 나타내는 notation이다.

C=0을 대입하면 $y(x) =e^x$라는 유명한 형태가 나오는데, 실제로 살펴보면,

$$y(x) = \sum _{n=0} ^\infty \frac {y(0)}{n!} x^n$$

e의 정의를 사용할 때

$$e^x = \sum _{n=0} ^\infty \frac {x^n}{n!}$$

이 방식으로 유일성까지도 증명된다.