ϵ−δ 논법으로 증명하려고 했는데 생각보다 어려워서 여기에다 내 생각을 정리해보려고 한다. δ가 원하는 범위로 나오도록 '적당히' 잡아주는 것이라서 이 '적당히'를 적용하는 것이 어색하게 느껴진다.
Theorem. 다항식 p(x)=pnxn+pn−1xn−1+⋯+p0는 R 위에서 연속이다.
∀a∈R,limx→ap(x)=p(a)
즉, 위 식을 증명해야 하는데 lim(f+g)(x)=limf(x)+limg(x)와 limcf(x)=climf(x)이 성립하므로
limx→axn=an
을 증명하면 충분하다.
임의의 양수 ϵ에 대해 δ가 있어 0<|x−a|<δ이면 |xn−an|<ϵ임을 보이면 되는 것이다. |xn−an|은 다음과 같이 나누어서 생각할 수 있다.
|xn−an|=|x−a|∣∣∣xn−anx−a∣∣∣
우선 |x−a|<1일 때를 생각해보자.. 이 떄 x의 범위는 a−1<x<a+1이다. 따라서 다음이 성립함을 알 수 있다.
|xn−an|<min{|(a+1)n−an|,|an−(a−1)n|}
우변을 A로 놓자. |x−a|<1이므로
∣∣∣xn−anx−a∣∣∣<A
그런데 |xn−an|=|x−a|∣∣xn−anx−a∣∣<ϵ 이므로
|x−a|<ϵA
이면 충분하다. 즉 정리해서, δ=min{1,ϵA}이면 된다고 할 수 있다.
실제로 이 δ를 넣어 성립하는 지 알아보자.
|x−a|<1
a−1<x<a+1
|xn−an|<min{|(a+1)n−an|,|an−(a−1)n|=A}
∴∣∣∣xn−anx−a∣∣∣<A
|x−a|<ϵA
|x−a|∣∣∣xn−anx−a∣∣∣<ϵAA=ϵ