다항식의 실수 위에서 연속성
\( \epsilon - \delta \) 논법으로 증명하려고 했는데 생각보다 어려워서 여기에다 내 생각을 정리해보려고 한다. \(\delta\)가 원하는 범위로 나오도록 '적당히' 잡아주는 것이라서 이 '적당히'를 적용하는 것이 어색하게 느껴진다.
Theorem. 다항식 \( p(x) = p_n x^n + p_{n-1} x^{n-1} + \cdots + p_0 \)는 \(\mathbb{R}\) 위에서 연속이다.
\[ \forall a \in \mathbb{R}, \;\lim _{x \rightarrow a} p(x) = p(a) \]
즉, 위 식을 증명해야 하는데 \( \lim (f+g)(x) = \lim f(x) + \lim g(x) \)와 \(\lim cf(x) = c \lim f(x) \)이 성립하므로
\[ \lim _{x \rightarrow a } x^n = a^n \]
을 증명하면 충분하다.
임의의 양수 \(\epsilon\)에 대해 \(\delta\)가 있어 \(0 < |x-a| <\delta \)이면 \(|x^n - a^n | < \epsilon\)임을 보이면 되는 것이다. \(|x^n - a^n |\)은 다음과 같이 나누어서 생각할 수 있다.
\[ |x^n - a^n | = |x-a| \left|\frac {x^n - a^n} {x-a} \right | \]
우선 \(|x-a| < 1\)일 때를 생각해보자.. 이 떄 \(x\)의 범위는 \( a-1 <x < a+1 \)이다. 따라서 다음이 성립함을 알 수 있다.
\[ |x^n - a^n | < \min \{ |(a+1)^n - a^n| , |a^n - (a-1)^n| \} \]
우변을 \(A\)로 놓자. \(|x-a|<1 \)이므로
\[ \left | \frac {x^n - a^n} {x-a} \right | < A \]
그런데 \( |x^n - a^n | = |x-a| \left|\frac {x^n - a^n} {x-a} \right | < \epsilon\) 이므로
\[ |x-a| < \frac {\epsilon}{A} \]
이면 충분하다. 즉 정리해서, \(\delta = \min \{ 1, \frac {\epsilon}{A} \} \)이면 된다고 할 수 있다.
실제로 이 \(\delta\)를 넣어 성립하는 지 알아보자.
\[|x-a| <1\]
\[ a-1 < x < a+1 \]
\[ |x^n - a^n | < \min \{|(a+1)^n - a^n | , |a^n - (a-1)^n |=A \} \]
\[ \therefore \left |\frac{x^n - a^n} {x-a} \right | < A \]
\[ |x-a| < \frac {\epsilon}{A} \]
\[ |x-a|\left |\frac{x^n - a^n} {x-a} \right | < \frac {\epsilon}{A} A = \epsilon \]