the fundamental theorem of arithmetic Theorem. 1보다 큰 모든 정수는 곱의 순서를 무시했을 때 오직 한 방법으로 소수의 곱으로 표현된다. Proof.먼저 1보다 큰 모든 정수 $n$은 소수의 곱으로 표현된다는 것을 증명하자.$n$이 소수이면 자명하게 참이다.$n$이 합성수이면 $d|n$, \(1

Möbius function Definition. 뫼비우스 함수(Möbius function) $\mu$는 수론적 함수(arithmetical function)의 일종으로, 다음과 같이 정의된다. $$\mu (1)=1$$ 어떤 자연수 n>1에 대해 standard prime factorization이 $n = p_1 ^{a_1} \cdots p_k ^{a_k}$라면 $$\mu (n) = (-1)^k \; \text{if} \; a_1 = a_2 = \cdots = a_k = 1 \\ \mu (n)=0 \; \text{otherwise}$$ Theroem 1. $n \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.\[\sum _{d|n} \mu (d) = \left[\frac{1}{n} \ri..

Definition. 양의 정수 위에서 함숫값이 복소수로 대응되는 함수를 수론적 함수(arithmetical function, number-theoretic function)이라고 부른다. Example.뫼비우스 함수(Möbius function)

Euler Integer Partition Theorem(Euler). 임의의 자연수 n을 서로 다른 양의 정수로 나누는 방법의 수는 홀수로 나누는 방법의 수와 같다. $$5=1+4=2+3=5 \\ 5=1+1+1+1+1=3+1+1=5$$ 위는 5를 정수 분할한 것로 각각 똑같이 3개이다. proof. q-series를 정리해서 간단하게 나타낼 수 있다.$p_d(n)$을 n을 서로 다른 양의 정수로 나누는 방법의 수라고 정의하면 임의의 절댓값이 1보다 작은 q에 대해 계수비교를 하면 다음이 성립한다. $$\sum _{n=0} ^{\infty} p_d(n) q^n = (1+q)(1+q^2 )(1+q^3 ) \cdots (1+q^k ) \cdots = (-q ; q)_{\infty}$$ 마찬가지의 원리로 \(..