Rolle's Theorem어떤 구간 [a,b]에서 f(a)=f(b)이고 함수 f는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능할 때 f'(c)=0인 c가 (a,b)에 존재한다. f가 상수함수가 아닌 이상 최대와 최소가 존재할 것이고 그 근처에서 페르마의 정리를 사용하면 증명이 가능해보인다.만약\[ \forall x \in [a,b], \quad f(x)=f(a)=f(b)\]라면 (a,b)의 아무 점 c를 잡아서\[ f'(c) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(c+h)-f(c)}{h} = 0 \]임을 쉽게 보일 수 있다. 좀 더 엄밀하게 적을 때는 델타를 c+h가 (a,b)를 벗어나지 못하게 잡으면 된다. 이제\[x \in [a,b], \quad f(x) \not = f(a..
Fermat's theoremf가 [a,b]에서 연속이다. \(c \in (a,b)\)에 대해 f가 c에서 미분 가능하고 c에서 극대/극소값을 가질 때, f'(c)=0이다. f'(c)>0이라고 가정했을 때 미분의 정의에 의해\[ \forall \epsilon>0, \; \exists \delta>0 \quad s.t. \quad 0
first derivative testf는 c 근처에서 연속이고 미분 가능할 때 그런 구간 (a,b)를 잡아서 \( f'(c)=0, \; f'(x)>0 \; if \; a0 이면 f는 c에서 극솟값을 가진다.f'(c)=0, f''(c)0, x>c일 때 f'(x)0\)이므로 \(f'(c)>f'(x)\)이다.\(\forall x \in (c,b)\)에 대해 f'은 [c,x]에서 연속이고 (c,x)에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의해 \(f''(d_2) = \frac {f'(c)- f'(x)} {c-x} \)인 \(d_2\)가 (c,x) 안에 존재한다. \(f''(d_2)>0\)이므로 \(f'(c)
Intermediate Value Theorem\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속일 때, \(f(a)
[a,b]에서 연속이고 일대일대응인 함수 f에 대해 f는 [a,b]에서 증가 또는 감소한다. 증가와 감소를 동시에 보이기는 어려우므로 지금은 f(a)
for interval I=[a,b], f is continuous on [a,b], f is differentiable on (a,b)\[\forall x_1, x_2 \in {a,b} , \; \forall \gamma \in (0,1) \quad f(\gamma x_1 + (1-\gamma )x_2) f(c) + f'(c) (x-c)\]가정은 내분점을 이용해서 한 볼록의 정의이고, 결론은 도함수로 선형근사를 한 함수의 대소관계를 이용한 볼록의 정의이다. \[take \; c = \gamma x_1 + (1-\gamma ) x_..
1. 미분\[ \frac {d}{dx} \sec x = \frac {d}{dx} \frac {1}{\cos x} = (-\sin x) \cdot (- \cos^2 x ) = \sec x \tan x \]chain rule을 적용하면 바로 풀린다. 2. 부정적분조금 접근이 어려운 편이다..\[ \int \sec x dx = \int \sec x \frac { \sec x + \tan x } {\sec x + \tan x } dx = \int \frac {\sec^2 x + \sec x \tan x }{\sec x + \tan x } dx = \log |\sec x + \tan x | + C \]치환이 되는 형태로 바꾸어나가는 과정이 핵심이다. 결론을 알고 나서 증명을 하는 느낌이다. 더 직관적인 증명은 다..
arctangent1. 미분\[ y = \tan ^{-1} x \]\[ \tan y = x \]\[ \frac {\tan y }{dx} = 1 \]\[ \frac {dy}{dx} = \cos^2 y \]\[ x^2 = \tan^2 y = \frac {1-\cos^2 y}{\cos^2 y} \]\[ \therefore \frac {d}{dx} \tan^-1 x = \cos^2 y = \frac {1}{1+x^2 } \] chain rule을 이용해 식을 적절히 전개한다. 2. 부정적분\[ \int \tan^{-1} x dx = x \tan ^{-1} x - \int x \frac {1}{1+x^2} dx = x \tan ^{-1} x - \frac {1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} 2x d..
\( \epsilon - \delta \) 논법으로 증명하려고 했는데 생각보다 어려워서 여기에다 내 생각을 정리해보려고 한다. \(\delta\)가 원하는 범위로 나오도록 '적당히' 잡아주는 것이라서 이 '적당히'를 적용하는 것이 어색하게 느껴진다.Theorem. 다항식 \( p(x) = p_n x^n + p_{n-1} x^{n-1} + \cdots + p_0 \)는 \(\mathbb{R}\) 위에서 연속이다.\[ \forall a \in \mathbb{R}, \;\lim _{x \rightarrow a} p(x) = p(a) \]즉, 위 식을 증명해야 하는데 \( \lim (f+g)(x) = \lim f(x) + \lim g(x) \)와 \(\lim cf(x) = c \lim f(x) \)이 성립하므로..
Suppose \( \{ a_n \} , \{ b_n \} \) are complex sequences, c is any complex number\[ \lim _{n \rightarrow \infty } a_n = a , \; \lim _{n \rightarrow \infty } b_n = b \]Theorem 1.\[ \lim _{ n \rightarrow \infty } a_n + b_n = a + b\]proof.주어진 \(\epsilon >0 \)에 대해 다음과 같은 integer \(N_1 , N_2 \)가 존재한다.\[ n \ge N_1 \; \mathrm{implies} \; | a_n - a | < \frac {\epsilon}{2}\]\[ n \ge N_2 \; \mathrm{impli..