Theorem. open disc에서 holomorphic한 function은 그 disc 안에서 primitive를 가진다.proof. 일반성을 잃지 않고 disc는 원점을 중심으로 한다고 하자.주어진 \(z \in D\)에 대해 \(0\)과 \(z\)를 연결하는 piecewise curve를 고려한다. 그 curve는 0부터 \(Re(z)\), \(Re(z)\)부터 \(z\)가 이어진 형태이다. 이 polygonal line 을 \(\gamma_z \)라고 놓자.\[ F(z) = \int _{\gamma_z } f(w)dw \]로 \(F\)를 정의했을 때 \(D\)에서 \(F\)는 holomorphic이고 \(F'=f\)을 보이면 충분하다.\( z+h \in D\)가 되도록 하는 충분히 작은 \(h ..
\(\gamma\)는 open set \(\Omega \subset \mathbb{C}\) 내의 closed curve이다. \(f\)가 \(\Omega\)에서 continuous이고 primitive를 가질 때 다음이 성립한다.\[ \int _\gamma f(z) dz = 0 \] 증명.조금 더 확장시켜서 closed curve은 시작되는 값과 끝나는 값이 같기 때문에 다음을 보이면 충분하다.\(\Omega\)에서 continuous이고 primitive \(F\)를 가지는 함수 \(f\)와 \(\Omega\) 내의 \(w_1\)에서 시작해서 \(w_2\)로 끝나는 curve \(\gamma\)에 대해 다음이 성립한다.\[ \int _\gamma f(z)dz = F(w_2) - F(w_1) \]\(\g..