Continuous Bijection Function

[a,b]에서 연속이고 일대일대응인 함수 f에 대해 f는 [a,b]에서 증가 또는 감소한다.

증가와 감소를 동시에 보이기는 어려우므로 지금은 f(a)<f(b)를 가정하여 증명의 방향을 일단 증가로 잡는다.

감소하는 구간이 있다면 

\[ \exists x_1,x_2 \; s.t. \; a<x_1<x_2<b, \; f(x_1) \ge f(x_2)\]

이것이 모순이라는 것을 보이면 되는데 일대일대응, 연속이기 때문에 중간값 정리를 쓰는 것이 적절해보인다. \(x_1, x_2\)사이의 어떤 값이 이미 존재한다는 식으로 전개를 하면 되지만, 바로 하려면 f(x)의 값이 \(f(x_1), f(x_2)\)가 \((f(a), f(b))\) 밖에 있는 경우와 안에 있는 경우에 논법이 달라지기 때문에 이 부분을 경우를 나누어서 먼저 해결해야 한다.

\[\text{Claim.} \quad \not\exists x \in (a,b) \; s.t. \; f(x)\le f(a) \; or \; f(x) \ge f(b) \]

만약 f(x) =f(a)이거나 f(x) =b라면 f는 일대일대응이라는 조건에 모순이다.

만약 f(x)<f(a) 라면 f(x)<f(a)<f(b)이다. f는 [a,b]에서 연속이므로 중간값 정리를 (a,x), (x,b)에서 같은 값으로 적용하면 어떤 f(x)<L<f(a)인 L에 대하여 f(c)=L인 c가 (a,x)에 존재하고, f(x)<L<f(b)이기도 하므로 f(c)=d인 d가 (x,b)에 존재하고, 일대일 대응에 모순이다.

만약 f(x)>f(b)라면 f(a)<f(b)<f(x)이다. 중간값 정리를 (x,b)에서 적용하면 어떤  f(b)<L<f(x)인 L에 대하여 f(c)=L인 c가 (x,b)에 존재하고, (a,x)에서 같은 값으로 적용하면 f(a)<L<f(x)이므로 f(d)=L인 d가 (a,x)에 존재하고, 모순이다.

따라서 Claim은 참인 것이 확인되었다. 이제 마음 놓고 \(f(a) < f(x) < f(b) \quad \forall x \in (a,b)\)라고 적어놓을 수 있다.

처음으로 돌아가서 감소하는 구간이 있다면

\[ \exists x_1,x_2 \; s.t. \; a<x_1<x_2<b, \; f(x_1) \ge f(x_2)\]

일단 \(f(x_1)=f(x_2)\)라면 일대일대응에 모순이다. 즉, 남은 경우는 \(f(x_1) >f(x_2)\)이다. Claim과 합쳐서 보면

\[ f(a) < f(x_2) < f(x_1) < f(b)\]

f는 [a,b]에서 연속하므로 중간값 정리에 의해 \(f(x_2) <L<f(x_1)\)인 어떤 L에 대해 \(x_1,x_2\) 안에 f(x)=L인 x가 존재한다. \(f(a) < L < f(x_1)\)이므로 \(a,x_1\) 안에도 f(c)=L인 c가 존재한다. 일대일대응에 모순이고, [a,b]에서 f는 증가한다.

f(b)>f(a)일 때는 -f(b)<-f(a)이고 -f는 일대일대응이다. 위에서 증명한 것에 의해 -f는 증가하고, 따라서 f는 감소한다.

f(a)=f(b)일 경우는 존재하지 않으므로 이 정리는 증명되었다.