Rolle's Theorem
어떤 구간 [a,b]에서 f(a)=f(b)이고 함수 f는 [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분 가능할 때 f'(c)=0인 c가 (a,b)에 존재한다.
f가 상수함수가 아닌 이상 최대와 최소가 존재할 것이고 그 근처에서 페르마의 정리를 사용하면 증명이 가능해보인다.
만약
\[ \forall x \in [a,b], \quad f(x)=f(a)=f(b)\]
라면 (a,b)의 아무 점 c를 잡아서
\[ f'(c) = \lim _{h \rightarrow 0} \frac {f(c+h)-f(c)}{h} = 0 \]
임을 쉽게 보일 수 있다. 좀 더 엄밀하게 적을 때는 델타를 c+h가 (a,b)를 벗어나지 못하게 잡으면 된다. 이제
\[x \in [a,b], \quad f(x) \not = f(a) = f(b) \]
이 존재할 때를 고려할 수 있다. 만약 f(x)>f(a)인 x가 존재한다면 \(f(\zeta)\)가 (a,b)에서 f(x)의 최대값이 되는 \(\zeta \in (a,b)\)를 잡자. 페르마의 정리에 의해 \(f'(\zeta) =0 \). f(x)<f(a)인 x가 존재한다면 \(f(\zeta )\)가 f의 최소가 되도록 잡아서 페르마의 정리를 적용하면 같은 결과가 나온다. 따라서 정리는 증명되었다.