Fermat's theorem
f가 [a,b]에서 연속이다. \(c \in (a,b)\)에 대해 f가 c에서 미분 가능하고 c에서 극대/극소값을 가질 때, f'(c)=0이다.
f'(c)>0이라고 가정했을 때 미분의 정의에 의해
\[ \forall \epsilon>0, \; \exists \delta>0 \quad s.t. \quad 0<|x-c|<\delta \quad implies \quad \left|\frac {f(x)-f(c)}{x-c} -f'(c) \right| < \epsilon \]
\[ take \; \epsilon = f'(c) \quad |x-c|<\delta \quad implies \quad 0< \frac {f(x)-f(c)}{x-c} \]
\[ 0<x-c<\delta \quad implies \quad f(c)<f(x) \]
\[ -\delta < x-c < 0 \quad implies \quad f(c)>f(x) \]
c에서 극대를 가지든 극소를 가지든 둘 중 하나에 모순되므로 f'(c)>0이면 안된다.
f'(c)<0일 때도 일반성을 잃지 않고 모순임을 보일 수 있다. 즉, f'(c)=0이다.