Intermediate Value Theorem
\(f\)가 \([a,b]\)에서 연속일 때, \(f(a)<L<f(b)\) 또는 \(f(b)<L<f(a)\)인 \(L\)에 대해 \(f(c)=L\)인 \(c\)가 \((a,b)\)에 존재한다.
\[ f(a)<L<f(b)\]
을 가정하자. 집합 \(S = \{ x \in [a,b] | f(x)<L \} \) 을 잡았을 때 우리는 이 정리를 실수 위에서 보고, \(a \in S\)이므로 완비성 공리를 적용하여 \(\exists c = \sup S \)이다. 이 때 \(c \in (a,b)\)이다.
모든 \(\epsilon >0\)에 대해 \(L- \epsilon < f(c) < L+\epsilon\)임을 보일 것이다.
일단 \(c \in [a,b] \)이다. 공집합이 아닌 \(S\)의 정의에 의해 \(c\)는 \(S\)의 한 원소보다는 커야 하므로 \(c \ge a \)이다. 만약 \(c > b\)라면 \(c\)는 정의에 의해 \(S\)의 least upper bound인데 집합 \(S\)의 정의에 의해 \(b\)도 \(S\)의 upper bound이므로 모순이다.
\(f\)는 \([a,b]\)에서 연속이므로
\[\lim _{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]
\[ \exists \delta >0 \quad \text {s.t.} \quad |x-c| < \delta \quad \text{implies} \quad |f(x) - f(c) | < \epsilon \]
\[ f(x) - \epsilon < f(c) < f(x) + \epsilon \]
먼저, \(|x-c|< \delta\)에 \(f(x)<L\)이 되는 \(x\)가 존재한다. 만약 아니라면, \(c-\delta\)도 \(S\)의 upper bound가 되는데, \(c\)가 \(S\)의 supremum이라는 것에 모순이다.
\(|x-c|<\delta \)에서 \(c<x<c+\delta\)를 생각했을 때, 모든 x가 f(x)<L이라면 \(c+\delta\)가 supS가 되어야 된다. 따라서 \(x \in (c,c+\delta)\)에 \(f(x)\ge L\)인 x가 존재한다.
따라서 모든 \(\epsilon\)에 대하여
\[ L-\epsilon \le f(x) - \epsilon < f(c) < f(x) + \epsilon < L+ \epsilon \]
만약 \( f(c) \not = L \)이라면 \(0<\epsilon<|f(c)-L| \)인 \(\epsilon\)을 잡았을 때
\[ \epsilon <f(c) -L \quad or \quad \epsilon>f(c)+L \]
이므로 모순이다. 따라서 그 L에 대해 \(f(c)=L\)이고, \(c \in (a,b) \)이므로 이 경우에 명제는 증명되었다.
\(f(b)<L<f(a)\)일 경우 \(-f(a)<-L<-f(b)\)이므로 마찬가지로
\[ \exists c \in (a,b) \quad s.t. \quad -f(c) = -L \]
따라서 f(c)=L이고 명제는 완전히 증명되었다.