\(\gamma\)는 open set \(\Omega \subset \mathbb{C}\) 내의 closed curve이다. \(f\)가 \(\Omega\)에서 continuous이고 primitive를 가질 때 다음이 성립한다.
\[ \int _\gamma f(z) dz = 0 \]
증명.
조금 더 확장시켜서 closed curve은 시작되는 값과 끝나는 값이 같기 때문에 다음을 보이면 충분하다.
\(\Omega\)에서 continuous이고 primitive \(F\)를 가지는 함수 \(f\)와 \(\Omega\) 내의 \(w_1\)에서 시작해서 \(w_2\)로 끝나는 curve \(\gamma\)에 대해 다음이 성립한다.
\[ \int _\gamma f(z)dz = F(w_2) - F(w_1) \]
\(\gamma\)가 smooth하면 chain rule과 FTC에 의해 증명은 간단하다. parametrization \(z\)에 대해 \(z(a) = w_1 , \; z(b) = w_2 \)로 놓으면
\[ \int _\gamma f(z) dz = \int _a ^b f(z(x))z'(x) dx = \int _a ^b F'(z(x)) z'(x) dx = \int _a ^b \frac {d}{dx} F(z(x)) dx = F(z(b)) - F(z(a)) \]
\(\gamma\)가 piecewise-smooth하면 위 과정을 계속 적용해나가면 된다.
\[ \int _\gamma f(z) dz = \sum _{k=0} ^{n-1} \int _{a_k } ^{a_{k+1}} f(z(t))z'(t) dt = F(z(a_k)) - F(z(a_0)) \]
closed curve는 \(z(a_k ) = z(a_0 )\)이므로,
\[ \int _\gamma f(z) dz = 0 \]