disc와 primitive

Theorem. open disc에서 holomorphic한 function은 그 disc 안에서 primitive를 가진다.

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proof. 

일반성을 잃지 않고 disc는 원점을 중심으로 한다고 하자.

주어진 \(z \in D\)에 대해 \(0\)과 \(z\)를 연결하는 piecewise curve를 고려한다. 그 curve는 0부터 \(Re(z)\), \(Re(z)\)부터 \(z\)가 이어진 형태이다. 이 polygonal line 을 \(\gamma_z \)라고 놓자.

\[ F(z) = \int _{\gamma_z } f(w)dw \]

로 \(F\)를 정의했을 때 \(D\)에서 \(F\)는 holomorphic이고 \(F'=f\)을 보이면 충분하다.

\( z+h \in D\)가 되도록 하는 충분히 작은 \(h \in \mathbb{C}\)에 대해

\[ F(z+h) - F(z) = \int _{\gamma_{z+h}} f(w)dw - \int _{\gamma_{z}} f(w) dw \]

Reference : Princeton Lectures in Analysis

위와 같은 과정에 의해 두 가지의 닫힌 도형을 적분하면서 최종적으로 \(z\)와 \(z+h\)를 잇는 line 위에서 적분을 하는 것이 남는다(Goursat's thm). 이 line을 \(\eta \)로 놓으면

\[ F(z+h) - F(z) = \int _\eta f(w) dw \]

\(f\)는 \(z\)에서 continuous하므로

\[ f(w) = f(z) + \psi (w)\]

이렇게 써줄 수 있다. 여기서 \(w \rightarrow z \)일 때 \(\psi(w) \rightarrow 0 \)이 만족된다.

\[ \int _\eta f(w) dw = f(z) \int _\eta dw + \int _\eta \psi (w) dw \]

\[ \left| \int _\eta \psi(w)dw \right| = \sup _{w \in \eta } |\psi(w) | |h| \]

\(h\)가 \(0\)으로 갈 때 최소상계도 0으로 가므로 결론적으로,

\[ F'(z) = f(z) \]