vector space

vector space는 field 위에서 vector addition과 scalar multiplication이라는 연산이 정의된 집합이다.

scalar들로 이루어진 field \(F\), vector들로 이루어진 set \(V\)에 대해서 vector addition과 scalar multiplication은 다음 성질을 만족하는 operation이다.

vector addition(+)에 대해, 만약 \(\alpha \in V \), \(\beta \in V\)이면 \(\alpha + \beta \in V \)가 성립한다.

vector addition은 \(\forall \alpha, \beta , \gamma \in V \)에 대해 다음과 같은 성질을 만족하는 operation이다.

\[ \alpha + \beta = \beta + \alpha \]

\[ \alpha + ( \beta + \gamma) = (\alpha + \beta ) + \gamma \]

\[ \exists 0 \in V \; \text{such that} \; \alpha + 0 = \alpha \]

\[ \exists - \alpha \in V \; \text{such that} \;\alpha + (- \alpha ) = 0 \]

scalar multiplication은 \( \forall \alpha, \beta \in V , \forall c \in F \)에 대해 다음 성질 4개가 만족하는 operation이다.

\[ 1 \alpha = \alpha \]

\[ (c_1 c_2 ) \alpha = c_1 ( c_2 \alpha ) \]

\[ c(\alpha + \beta ) = c \alpha + c \beta \]

\[ (c_1 + c_2 ) \alpha = c_1 \alpha + c_2 \alpha \]

vector space \(V\)가 field \(F\)에서 정의되기 때문에 이를 강조하기 위해 vector space \(V\) over a field \(F\)라고 표현하기도 한다.

다음은 linear algebra에서 중요한 vector space들이다.

1. n-tuple space, \(F^n\)

어떤 field \(F\)에 대해

\[ F^n := \{(x_1, x_2, \cdots , x_{n-1} ,x_n ) | x_1 , \cdots , x_n \in F \} \]

\(F\)에서 \(n\)개의 element들을 뽑아서 나열한 set이라고 보면 된다.

여기서 vector addition, scalar multiplication을 다음과 같이 정의하면 각 operation의 성질들을 만족한다는 것을 어렵지 않게 보일 수 있을 것이다.

\(\alpha, \beta \)를 각각 \(F^n\)의 임의의 vector, \( (x_1, x_2 , \cdots , x_n ) \), \((y_1, y_2 , \cdots , y_n )\) 으로 놓자. 임의의 scalar \(c \in F\)에 대하여

\[ \alpha + \beta = (x_1 + y_1, x_2 + y_2 , \cdots , x_n + y_n ) \]

\[ c \alpha = (cx_1 ,cx_2,\cdots,cx_n)\]

2. \( m \times n \) matrix space, \(F^{m \times n}\)

n-tuple space를 더 확장시킨 형태이다.

\[ F^{m \times n}:=\{ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mn} \end{bmatrix} | x_{ij} \in F \} \]

여기서 vector addition, scalar multiplication을 matrix에서 정의하는 것으로 적용하면 \(F^{m \times n} \)도 하나의 vector space를 이룬다는 것을 보일 수 있다.

\[\forall A,B \in F^{m \times n} , c \in F \]

\[(A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} \]

\[(cA)_{ij} = cA_{ij} \]