adjoint matrix

어떤 invertible square matrix \(A \in Mat_n (F) \)에 대하여 \(AB = I\)인 행렬 B가 존재한다. B의 column 1, column 2... 를 \(B^{(1)}, B^{(2)}, \cdots \)로 두자.

\[A \times \begin{bmatrix} B^{(1)} & B^{(2)} & \cdots & B^{(n)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} & \cdots & \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} AB^{(1)} & AB^{(2)} & \cdots & AB^{(n)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} & \cdots & \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{bmatrix} \]

Cramer's Rule을 적용해보면 B의 모든 index를 일반적으로 구할 수 있다

예를 들면

\[ AB^{(1)} = \begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ b_{11} = \frac {\begin{vmatrix} 1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}} {\det (A)} = \frac {1} {\det (A)} (-1)^{1+1} \det(\widetilde{a_{11}})\]

\[ b_{21} = \frac {\begin{vmatrix} a_{11} & 1 & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}} {\det (A)} = \frac {1} {\det (A)} (-1)^{1+2} \det(\widetilde{a_{12}})\]

이 과정을 모든 \(b_{11} , \cdots , b_{nn} \)에 반복해주면 다음과 같은 B에 대한 일반적인 결과를 얻을 수 있다.

\[ B = \det(A)^{-1} \begin{bmatrix} (-1)^{1+1}\det (\widetilde{a_{11}}) & \cdots & (-1)^{n+1} \det (\widetilde {a_{n1}} ) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (-1)^{1+n}\det(\widetilde{a_{1n}}) & \cdots & (-1)^{n+n} \det(\widetilde{a_{nn}}) \end{bmatrix} \]

이 때 |A|B에 해당하는 오른쪽 행렬을 A의 adjoint, adj(A)라고 부른다.