Compact Subset of Metric Space

Theorem. Compact subsets of metric spaces are closed.

proof.

metric space \(X\)의 compact subset \(K\)를 잡아요.

closed를 직접 보이기는 어려우므로 \(K^c\)가 open임을 보이면 되요.

어떤 \(p \in K^c , q \in K\)에 대해 radius가 \(\frac {1}{2} d(p,q)\)가 되도록 하는 각 점의 neighborhood를 \(V ,W\)라 해요.

K가 compact set이므로 \(K \in \bigcup _{\alpha = 1} ^{n} W_{q_{\alpha}} = W \)가 되도록 하는 유한한 점들 \(q_1 , q_2 , \cdots , q_n \in K \)를 잡을 수 있습니다.

let \[ V = \bigcap _{\alpha = 1} ^{n} V_{q_{\alpha}} \]

\(V \cap W = \emptyset \)인데 \(K \subset W\)이므로 \(V \subset K^c\)이에요. \(V\)는 \(p\)의 neighborhood이므로 \(p\)는 \(K^c\)의 interior point가 됩니다. 따라서 \(K^c\)는 open입니다.