Open과 Closed

Theorem. set \(E\)가 open인 것과 \(E\)의 complement가 closed인 것과 동치이다.

proof.  \(E\)가 open이라면 \(x\)를 \(E^c \)의 limit point로 잡아요. limit point의 정의에 의해, \(x\)의 neighborhood는 \(E^c\)의 \(x\)가 아닌 적어도 한 점을 포함하게 됩니다. \(E\)가 open이므로,  \(E\)의 모든 점이 \(E\)의 interior point이어야 하므로, \(x \notin E\) 즉, \(x \in E^c\)이에요. 이것은 정의에 의해 

\(E^c\)가 closed set임을 말합니다.

\(E^c\)가 closed라면 \(x \in E\)인 \(x\)를 하나 잡아요. 그러면 \(x \notin E^c\)이고, \(x\)는 \(E\)의 limit point가 될 수 없어요.

따라서 그 \(x\)에 대해 \(E^c \cap N\)이 empty set인 neighborhood \(N\)이 존재해요. 즉, \(N \subset E\)인 \(x\)의 neighborhood가 존재하는 것입니다. \(x \in E\)인데 이 \(x\)는 \(E\)의 interior point가 되므로 set \(E\)가 open인 것이에요!