Limit Point와 Neighrborhood

Theorem. set \(E\)에 속한 어떤 point \(p\)가 limit point라면, \(p\)의 모든 neighborhood는 \(E\)에 포함된 infinite 한 점을 가진다.

그럼 이번에는 limit point의 정의를 보겠습니다.

Definition 1. 한 점 \(p\)에 대해 모든 neighborhood가 \(q \in E\)인 점 \(q \not= p \)를 가지면 \(p\)는 set \(E\)의 limit point이다.

proof)

limit point의 조건을 잘 살리면 되겠죠.

Theorem에서 \(p\)의 neighborhood의 radius을 \(r>0\)로 고정해요. Definition 1에 의해 \(d(p,q_1)<r\)인 point \(q_1\)이 set \(E\)에 존재합니다.

이 때 \(d(p,q_1) = r_1\)으로 놓아요. 그러면 \(d(p,q_2) < r_1\)인 point \(q_2\)가 같은 방식으로 set \(E\)에 존재해요.

이런 식으로 또 \(d(p,q_2) = r_2\)로 놓고 같은 과정을 무한히 반복할 수 있어요.

따라서 radius가 \(r\)인 \(p\)의 neighborhood에는 집합 \(E\)에 속하는 점이 \(\{q_1, q_2, q_3 ... \}\)이렇게 존재하고, 이것은 \(\{1,2,3,...\}\)과 1-1 correspondence 하기 때문에 infinite합니다.

이 Theorem이 재밌는 이유는 대우를 보면 알 수 있어요.

finite set은 limit point를 가지지 않는다.