Neighborhood와 Set

Theorem. 모든 neighborhood은 open set이다.

이 자명해보이는 문제를 풀어볼려고 합니다.

그럼 먼저 neighborhood와 open set에 대해 알아야해요.

여기서 말하는 points, sets는 모두 metric space 위에서 정의된 것입니다.

Definition 1. radius \(r\), a point \(p\)가 주어졌을 때 neighborhood는 \(d(p,q)<r\)인 모든 점 \(q\)로 이루어진 set \(N_r (p)\)이다.

Metric space의 예인 Euclidean \(\mathbb{R}^2\) space 에서 생각하면 직관적으로 다가올거에요.(원)

다음은 open set을 정의하기 위해 interior point를 정의할 거에요.

Definition 2. 어떤 set \(E\) 에 대해 점 \(p\)가 neighborhood \(N \subset E\)인 \(N\)이 존재하면 \(p\)는 interior point이다.

Definition 3. set \(E\)의 모든 점이 \(E\)의 interior point이면 \(E\)는 open set이다.

이제 Theorem을 보면,

neighborhood를 Definition 2,3에서의 \(E\) 처럼 봐야 함을 알 수 있어요.

즉, 임의의 point \(p\)와 radius \(r\)에 대해

\[E = N_r, N_r \; \mathrm{is} \;\mathrm{a} \;\mathrm{set}\;\mathrm{of}\; q \;\mathrm{such}\;\mathrm{that}\;d(p,q)<r\]

인 set을 잡는 것이에요.

\(E\)가 open set이 되려면 모든 \(q \)가 interior point가 되야 해요.

그 interior point의 neighborhood \(M\)이 \(E\)안에 들어가기 위한 radius을 찾아주는 것이 핵심인 것이죠.

여기서 \(d(p,q) = r - h \)로 잡아줍니다.

\(M\)의 radius를 \(h\)로 놓겠습니다. 그리고 \(M\) 내부의 다른 한 점을 \(x\)로 놓겠습니다.

즉, \(d(q,x)<h\)라는 것이죠.

Theorem을 보이기 위해 증명해야 할 것은 \(M \subset N \)이 되는 것입니다. 근데 이것은 \(d(p,x)<r\)과 동치에요.

조건식은 \(d(p,q)\), \(d(q,x)\)에 관한 것이므로 위를 보이려면 metric space가 정의될 떄 distance function의 특성을 활용해야겠죠.

\[d(p,x) \le d(p,q) + d(q,x) < (r-h)+h = r\]