\(D \subseteq \mathbb{R}^2 \)가 simple region이고 \(C=\partial D \)일 때, 미분 가능하고 미분했을 때 연속인 함수 \(P:D \rightarrow \mathbb{R}\)와 \(Q:D \rightarrow \mathbb{R} \)에 대해
\[ \int _{C^+} P dx + Q dy = \iint _D \left( \frac { \partial Q } {\partial x} - \frac { \partial P} {\partial y} \right) dx dy \]
가 성립한다. 이 때 \(C^+\)는 반시계방향의 \(C\)를 의미한다.
2차원 평면에서 경계를 따라 적분한 결과와 영역 전체에서 적분한 결과 사이의 관계를 보여주는 식입니다.
Simple Region
\(D\)가 simple region이기 때문에 y-simple, x-simple을 동시에 만족합니다.
y-simple은 모든 \(a \le x \le b \)에 대해 \(\phi_1 (x) \le y \le \phi_2 (x)\)인 연속 함수 \(\phi_1 ,\phi_2\)가 존재한다는 것을 뜻합니다. x-simple도 마찬가지로 정의되고, 즉 \(D\)가 simple region이라는 것은 (대충) \(D\)가 구멍이 뚫려 있지 않은 영역임을 말합니다.
y-simple을 통한 접근
위의 정의를 그대로 가져와서
\[ a \le x \le b \quad \phi_1 (x) \le y \le \phi_2 (x) \]
로 경계를 표현합니다.
\[ \begin{aligned} \iint _D \frac { \partial P}{\partial y} dx dy &= \int _a ^b \int _{\phi_1 (x)} ^{\phi_2 (x)} \frac {\partial P}{\partial y} dy dx \\ & = - \int _a ^b P(x,\phi_1 (x)) - P(x, \phi_2 (x)) dx \end{aligned} \]
푸비니의 정리가 사용되었습니다.
Fig 1. y-simple 영역
\(C_1\)을 \(y\)의 lower bound, 즉 좌표평면에서 아래쪽에 그려지는 곡선으로 놓고, \(C_2\)를 좌표평면에서 위쪽에 그려지는 곡선으로 놓습니다. +방향은 Figure 1에 표시된 방향, - 방향은 그 반대 방향을 의미합니다.
\[ \int _a ^b P(x, \phi_1 (x))dx = \int _{C_1 ^+} P(x,y) dx \]
\[ \int _a ^b P(x,\phi_2 (x)) dx = \int _{C_2 ^-} P(x,y) dx \]
를 만족합니다. 변수변환(parametrization)을 \(x \rightarrow (x,\phi _1 (x) ) \)로 주고 선적분의 정의를 사용하면 바로 확인할 수 있는 부분입니다.
(Recall that \( \int _{\mathbf{c}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{s} = \int _{\mathbf{c}} F_1 dx + F_2 dy = \int _a ^b \mathbf{F} ( \mathbf{c} (t) ) \cdot \mathbf{c}' (t) dt \))
또한, x의 경계인 \(a\)와 \(b\)에서는 \(x\)값이 곡선에서 변하지 않으므로
\[ \int _{B_1 ^+ } P(x,y) dx = 0\]
\[ \int _{B_2 ^+ } P(x,y) dx = 0\]
따라서
\[ \begin{aligned} \int _{C^+} P(x,y) dx &= \int _{C_1 ^+ } P(x,y) dx + \int _{B_1 ^+ } P(x,y) dx + \int _{C_2 ^+ } P(x,y) dx + \int _{B_2 ^+} P(x,y) dx \\ &= \int _a ^b P(x, \phi _1 (x)) dx - \int _a ^b P(x,\phi_2 (x)) dx \\ &= - \iint _D \frac {\partial P}{\partial y} dxdy \end{aligned} \]
x-simple을 통한 접근
y-simple과 비슷하게 접근하면
\[ \iint_D \frac {\partial Q}{\partial x} dx dy = \int _{C^+} Q(x,y)dy \]
-부호가 붙지 않는 이유는 x-simple일 때 y의 범위를 정의역으로 하는 매개변수화를 하는데, 방향성을 따질 때 y-simple을 다룰 때와 정반대가 되기 때문입니다. 뭔가 설명이 이상한데, 직접 해보면 무슨 뜻인지 알 수 있습니다.
마무리
simple region은 x-simple이면서 y-simple이므로 앞의 두 결과를 합쳐서 적어줄 수 있습니다.
\[ \int_{C+} Pdx + Qdy = \iint _D \frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y} dx dy \]
제가 수강했던 과목에서는 \(\frac {\partial Q}{\partial x}, \frac {\partial P}{\partial y}\)가 간단하게 나오는 경우의 적분 계산과 스토크스 정리(Stokes' theorem) 증명 정도에서 사용되더군요.
참고한 책: Marsden, Vector Calculus, 5th ed