곡선 \(C\)의 벡터 함수 \(\mathbb{r} (t)\), 단위 접선 벡터 함수 \(\mathbb{T}(t)\), 길이 함수 \(s(t)\)에 대해 곡률 \(\kappa\)는 다음과 같이 정의된다.
\[ \kappa (t) = \Big| \frac {d\mathbb{T}}{ds} \Big| \]
즉, 단위 길이 당 접선 벡터가 얼마나 변하는 지를 보는 함수이다. 곡률이 높다면 방향이 작은 구간에서 급격하게 변한다는 보편적인 정의와 상통한다.
계산을 할 때는 \(\mathbb{T}\)를 \(s\)에 관해 나타내준 후 미분을 해야 하는데, 매개변수를 써서 다시 나타내면 더 쉽게 할 수 있다.
\[ \kappa(t) = \Big| \frac {d\mathbb{T}}{ds} \Big| = \Big| \frac {\frac {d\mathbb{T}}{dt}}{\frac {ds}{dt}} \Big| = \Big| \frac {\mathbb{T} ' (t) } { |\mathbb{r} ' (t)|} \Big| = \frac {|\mathbb{T}'(t)|}{|\mathbb{r}'(t)|}\]
또한 편의를 위해 우변을 \(\mathbb{r}\)에 관한 함수로 나타내는 것을 생각할 수 있다. 따라서 지금부터 \(\mathbb{T} ' (t)\)를 다른 형태로 나타내는 것을 생각할 것이다.
\[ \mathbb{T} (t) = \frac {\mathbb{r}'(t)}{|\mathbb{r}'(t)|} \]
\[ \mathbb{T} (t) \frac {ds}{dt} = \mathbb{r}'(t) \]
양변을 미분했을 때
\[ \mathbb{T}'(t) \frac {ds}{dt} +\mathbb{T}(t) \frac {d^2 s}{dt^2}= \mathbb{r}''(t) \]
두 번 미분한 것은 최종 형태에서 원하지 않는, 없어져야 하는 스칼라이다. 앞에 곱해진 \(\mathbb{T}(t)\)은 벡터이기 때문에 적절한 연산을 통해 항을 없애는 것을 생각해볼 수 있다. \(\mathbb{r}'(t)\)를 관찰했을 때 같은 벡터 \(\mathbb{T}(t)\)에 어떤 스칼라가 곱해진 꼴이기 때문에 두 벡터의 방향은 같고, cross product를 하면 0으로 만들 수 있다.
\[ \mathbb{r}'(t) \times \mathbb{r}''(t) = \Big(\mathbb{T} (t) \frac {ds}{dt} \Big) \times \Big( \mathbb{T}'(t) \frac {ds}{dt} + \mathbb{T}(t) \frac {d^2 s }{dt^2 } \Big) = |\mathbb{r}'(t)|^2 (\mathbb{T} (t) \times \mathbb{T}'(t) )\]
그런데 \(\mathbb{T}\)와 \(\mathbb{T}'\)은 수직이고 \(|\mathbb{T} (t) | = 1\)이므로
\[| \mathbb{r}'(t) \times \mathbb{r} '' (t) | = | \mathbb{r}'(t)|^2 |\mathbb{T}(t) \times \mathbb{T}'(t) | = |\mathbb{r}'(t)|^2 |\mathbb{T}'(t) | \]
\[ |\mathbb{T}'(t)| = \frac { |\mathbb{r}'(t) \times \mathbb{r} '' (t) | } { |\mathbb{r}'(t)|^2 } \]
\[ \therefore \kappa (t) = \frac { |\mathbb {T}'(t)|} {|\mathbb{r}'(t) |} = \frac {|\mathbb{r}'(t) \times \mathbb{r} '' (t) |} {|\mathbb{r}'(t) |^3 } \]