실계수 사차방정식의 일반적 해법

Problem. How to solve \(a x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R} \) ?

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solution.

실계수 삼차방정식을 풀 수 있다는 가정 하에 실계수 사차방정식을 풀 수 있습니다.

\[x^4 + \frac b a x^3 + \frac c a x^2 + \frac d a x + \frac e a =0 \]

\[ \Big(x + \frac {b}{4a} \Big)^4 = x^4 + \frac {b}{a} x^3 + \text{some 2nd degree polynomial} \]

따라서 \(y = x+ \frac b {4a}\)라는 치환을 이용한다면 일반적인 사차방정식 문제를 삼차항이 소거된 형태로 바꿀 수 있습니다.

\[ y^4 + py^2 + qy + r = 0, \quad p,q,r \in \mathbb{R} \]

\[ y^4 = -py^2 -qy -r \]

이 부분에서 우변을 완전제곱식으로 만들기 위해 다음 식을 만족하는 적합한 \(z\)를 생각해봅니다.

\[ y^4 + y^2 z + \frac {z^2} 4 = (z-p)y^2 -qy + \Big(\frac {z^2} 4 - r \Big) \]

즉, \( q^2 = (z-p)(z^2 - 4r ) \)인데 이 식은 \(z\)에 관한 실계수 삼차방정식이므로 식을 만족하는 \(z=z_0\)를 찾을 수 있습니다.

\[ \Big(y^2 + \frac {z_0} 2 \Big)^2 = (z_0 - p) \Big(y - \frac {q}{2(z_0 - p)} \Big)^2 \]

\[ y^2 + \frac {z_0} 2 = \pm \sqrt {z_0 - p} \Big ( y - \frac {q}{2(z_0 - p)} \Big) \]

\(y\)에 관한 이차방정식 두 개이므로 각각을 풀 수 있고, 이렇게 사차방정식의 해 네 개가 모두 찾아집니다.