실계수 삼차방정식의 일반적 해법

Problem. How to solve \(a x^3 + bx^2 + cx + d = 0, \quad a,b,c,d \in \mathbb{R} \) ?

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solution.

\[x^3 + \frac b a x^2 + \frac c a x + \frac d a = 0\]

양변을 \(a\)로 나누면 삼차항의 계수를 1로 고정할 수 있기 때문에 위 식만 고려해도 충분합니다. 가장 까다로워보이는 삼차항은 없앨 수 없기에 다음에 노려볼 수 있는 것은 이차항의 제거입니다.

\[ \Big(x+ \frac b {3a} \Big) ^3 = x^3 + \frac b a x^2 + \frac {b^2} {3a^2} x + \frac {b^3}{27a^3 } \]

위 결과를 이용하면 이차항이 사라진 다음과 같은 식을 얻습니다.

\[ \Big(x+ \frac b {3a} \Big)  ^3 + 3p \Big(x+ \frac b {3a} \Big) + q  =0 \]

\[ \text{Let} \; y = x + \frac b {3a}, \quad y^3 + 3py + q = 0\]

이 부분이 핵심인데, \(y=u+v \)를 놓는다면 다음과 같이 전개가 됩니다.

\[ (u+v) ^3 + 3p(u+v) + q = 0 \]

\[ u^3 + v^3 + 3(uv+p)(u+v) + q = 0 \]

\(y\)는 삼차방정식의 해를 대표하는 변수인데 \(u,v\) 두 개의 변수로 치환했으므로 조건 하나를 더 부여해도 됩니다. 그 조건을 \(uv+p = 0\)을 잡는다면

\[ u^3 + v^3 = -q \]

\[ u^3 v^3 = -p^3 \]

그리고 \(u^3 , v^3 \)은 이차방정식 \(t^2 +q t - p^3 = 0\)의 두 해이므로 결정할 수 있습니다. 그렇다면 \(u^3 = U\), \(v^3 = V\)와 같은 결과를 얻는데, \(u\)가 될 수 있는 것은 \(U^{1/3}, \omega U^{1/3}, \omega ^2 U^{1/3} \)이 있고 \(v\)도 마찬가지로 \(V^{1/3}, \omega V^{1/3}, \omega ^2 V^{1/3} \)가 있습니다.

이 때 \(u,v\)를 잘 조합해서 적합한 \(y\)를 찾아야 합니다. 대수학의 기본 정리에 의해 삼차방정식의 해는 3개인데 위에 적혀져 있는 것으로 만들어지는 조합은 9개나 되니까 6개를 제외시켜야 합니다.

\(uv = -p \)에서 위 삼차방정식은 실계수였기 때문에 \(p\)도 실수이고, 따라서 \(uv\)도 실수가 되어야 합니다. 즉, \(y\)가 될 수 있는 것은 \(U^{1/3} + V^{1/3} \), \(\omega U^{1/3} + \omega^2 V^{1/3}\), \(\omega ^2 U^{1/3} + \omega V^{1/3} \) 이 세 개이고 따라서 x도 처음의 치환으로 돌아가면 결정됩니다.