1/1+sin^2 x의 적분

\[ \int \frac 1 {1+\sin^2 x } dx \]

기본적인 아이디어는 분모와 분자에 \(\cos^2 x\)를 나누는 것입니다. 이 부분의 동기는

\[ \frac {d}{dx} \tan x = \sec^2 x \]

\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \]

들을 이용해서 식을 탄젠트와 시컨트로만 나타내면 얻을 수 있는 이점이 크기 때문입니다. 사인을 그대로 이용하려면 치환을 어떻게 해도 반드시

\[ \frac d {dx} \sin x = \cos x \]

가 들어가게 되는데, 코사인을 사인으로 표현하면 무리식이 될 수밖에 없어서 막히게 됩니다.

어쨌든 양변에 시컨트 제곱을 곱하면 얻을 수 있는 식은 다음과 같습니다.

\[\int \frac {\sec^2 x } {\sec^2 x + \tan ^2 x } dx \]

\( \tan x = y \)라는 좋은 치환을 사용하면 다음과 같이 유리식으로 변환되고,

\[ \sec^2 x dx = dy \]

\[ sec^2 x = \tan^2 x +1 = y^2 + 1 \]

\[\int \frac 1 { 2y^2 + 1 } dy \]

\( \int \frac 1 {1+x^2 } = \tan^{-1} x \)를 이용하면 풀립니다. 간단한 치환적분입니다.

\[ \therefore \int \frac 1 {1+\sin^2 x } dx = \int \frac 1 {2(\tan x )^2 + 1 } d\tan x = \frac {1}{\sqrt 2} \tan^{-1} (\sqrt 2 \tan x ) + C \]

Exercise. Evaluate \( \int \frac 1 {1+\cos^2 x } dx \).